函数最值

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考纲对齐

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适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

教程正文

函数最值 (Maximum and Minimum Values)

1. 概念 (Concept)

函数的**最值**（即“最大值”和“最小值”的统称）描述了函数在整个定义域或指定区间上的取值范围的边界。

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$：

* **最大值 (Maximum Value)**：如果存在 $x_0 \in D$，使得对于**任意** $x \in D$，都有 $f(x) \le f(x_0)$，则称 $y_{max} = f(x_0)$ 为函数的最大值。

* **最小值 (Minimum Value)**：如果存在 $x_0 \in D$，使得对于**任意** $x \in D$，都有 $f(x) \ge f(x_0)$，则称 $y_{min} = f(x_0)$ 为函数的最小值。

> **核心区别**：

* **最值 (Global Extrema)**：整体概念，是在整个区间上比大小，只有一个最大值和一个最小值（如果存在）。

* **极值 (Local Extrema)**：局部概念，是在某个点的邻域内比大小（山峰和山谷），可能有多个。

* 最值点一定是极值点或区间端点。

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2. 求函数最值的常用方法

#### (1) 图像法 (Graphical Method)

画出函数图像，观察最高点（最大值）和最低点（最小值）。

#### (2) 配方法 (Completing the Square) —— 针对二次函数

对于 $f(x)=ax^2+bx+c$，配方为 $f(x)=a(x-h)^2+k$。

* **若定义域为 $\mathbb{R}$**：看 $a$ 的正负，顶点 $k$ 即为最值。

* **若定义域为闭区间 $[m, n]$**：

1. 判断顶点横坐标 $h$ 是否在区间 $[m, n]$ 内。

2. 若在，比较 $f(h), f(m), f(n)$ 的大小。

3. 若不在，只需比较端点值 $f(m)$ 和 $f(n)$ 的大小。

#### (3) 导数法 (Derivative Method) —— 通用方法

求可导函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最值步骤（“**候选点法**”）：

1. **求导**：计算 $f'(x)$。

2. **找点**：求出区间内部所有**驻点**（即 $f'(x)=0$ 的点）和不可导点。

3. **比较**：计算这些点以及**区间端点** $a, b$ 处的函数值。

4. **结论**：比较上述所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。

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3. 典型例题

**例题 1：二次函数在闭区间上的最值**

求 $f(x)=x^2-4x+5$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

**解**：

1. **配方**：$f(x) = (x-2)^2 + 1$，对称轴 $x=2$，开口向上。

2. **判断**：对称轴 $x=2 \in [0, 3]$，所以顶点有效。

3. **计算关键点**：

* 左端点：$f(0) = 5$

* 顶点：$f(2) = 1$

* 右端点：$f(3) = (3-2)^2+1 = 2$

4. **比较**：最大值为 $5$，最小值为 $1$。

**例题 2：导数法求最值**

求函数 $f(x)=x^3-3x+1$ 在闭区间 $[-2, 2]$ 上的最值。

**解**：

1. **求导**：$f'(x)=3x^2-3$。

2. **求驻点**：令 $f'(x)=0$，解得 $x=\pm 1$。均在区间 $[-2, 2]$ 内。

3. **列表比较**：

* 端点：$f(-2) = -8+6+1 = -1$

* 驻点：$f(-1) = -1+3+1 = 3$

* 驻点：$f(1) = 1-3+1 = -1$

* 端点：$f(2) = 8-6+1 = 3$

4. **结论**：最大值为 $3$，最小值为 $-1$。

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4. 常见错误警示

* **遗漏端点**：用导数法时，只计算了极值点，忘记比较区间端点 $f(a)$ 和 $f(b)$。

* **忽略定义域**：对于二次函数，不检查对称轴是否在给定区间内，直接用顶点公式求最值。

* **混淆极值与最值**：极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点（可能是端点）。

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