导数简单应用
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考纲对齐
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教程正文
导数简单应用 (Applications of Derivatives)
1. 核心逻辑图解 (Core Logic)
导数 $f'(x)$ 是函数 $f(x)$ 的“晴雨表”，它告诉我们函数图像的走势：
* **$f'(x)$ 的符号** $\longleftrightarrow$ **$f(x)$ 的增减性 (Monotonicity)**
* **$f'(x)$ 的零点** $\longleftrightarrow$ **$f(x)$ 的极值点 (Extrema)**
| $f'(x)$ 的符号 | $f(x)$ 的性状 | 图像特征 |
| :--- | :--- | :--- |
| **正 (+)** | **单调递增 (Increasing)** | 📈 爬坡 (Uphill) |
| **负 (-)** | **单调递减 (Decreasing)** | 📉 下坡 (Downhill) |
| **零 (0)** | **驻点 (Stationary)** | ➖ 平坦 (Flat) 可能有极值 |
---
2. 三大考点与解题步骤 (Key Topics & Methods)
#### 考点一：求单调区间 (Intervals of Monotonicity)
**步骤**：
1. **求定义域**：一切讨论要在定义域内进行。
2. **求导**：计算 $f'(x)$。
3. **解不等式**：
* 解 $f'(x) > 0$ 得**单调递增区间**。
* 解 $f'(x) < 0$ 得**单调递减区间**。
#### 考点二：求极值 (Local Extrema)
**步骤**：
1. 求导 $f'(x)$ 并找出**驻点**（令 $f'(x)=0$）和**不可导点**。
2. **列表分析 (Sign Chart)**：检查驻点左右两侧 $f'(x)$ 的符号变化。
* **+ 变 -** $\Rightarrow$ **极大值 (Max)** (山峰)
* **- 变 +** $\Rightarrow$ **极小值 (Min)** (山谷)
* 符号未变 $\Rightarrow$ 无极值 (如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处)
#### 考点三：求闭区间上的最值 (Absolute Extrema on $[a, b]$)
**步骤**：
1. 找出区间 $(a, b)$ 内所有的**驻点**和**不可导点**。
2. 计算这些点出的函数值，**以及**端点 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的值。
3. **比较**所有计算出的函数值：最大的是最大值，最小的是最小值。
---
3. 典型例题 (Examples)
**例题 1：综合分析单调性与极值**
分析函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调区间和极值。
**解**：
1. **求导**：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。
2. **找驻点**：令 $f'(x)=0$，得 $x_1 = -1, x_2 = 1$。
3. **列表分析 (Table of Variation)**：
| $x$ | $(-\infty, -1)$ | $-1$ | $(-1, 1)$ | $1$ | $(1, +\infty)$ |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ (增) | **极大值 2** | $\searrow$ (减) | **极小值 -2** | $\nearrow$ (增) |
* **单调递增区间**：$(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$
* **单调递减区间**：$[-1, 1]$
* **极值**：极大值 $f(-1)=2$，极小值 $f(1)=-2$。
**例题 2：闭区间最值**
求 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值。
**解**：
1. **驻点**：由例 1 知驻点为 $x=\pm 1$，均在区间 $[-2, 2]$ 内。
2. **列表计算**：
* 端点：$f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$
* 驻点：$f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$
* 驻点：$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$
* 端点：$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$
3. **比较**：
最大值为 3 (在 $x=-1, 2$ 处取得)。
最小值为 -1 (在 $x=-2, 1$ 处取得)。
**例题 3：优化问题 (Optimization)**
用长为 20 米的绳子围成一个矩形，求最大面积。
**解**：
1. **建模**：设长为 $x$，则宽为 $(20-2x)/2 = 10-x$。且 $0 < x < 10$。
面积 $S(x) = x(10-x) = 10x - x^2$。
2. **求导**：$S'(x) = 10 - 2x$。
3. **求驻点**：令 $S'(x)=0 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5$。
4. **判断**：当 $x<5$ 时 $S'>0$；当 $x>5$ 时 $S'<0$。故 $x=5$ 为极大值点（也是最大值点）。
5. **结论**：长宽均为 5 米（正方形）时，面积最大，为 $25 m^2$。
---
4. 常见错误警示
* **区间写错**：单调区间通常尽量写成闭区间（若连续），但写成开区间一般也不扣分。切记不要用 $\cup$ 符号连接两个单调区间（如单调增区间应写为“区间 A **和** 区间 B”）。
* **极值点 $\neq$ 最值点**：极值是局部的“山头”，最值是全域的最高点。闭区间求最值**千万别忘了代入端点**！
* **忘记定义域**：解决实际应用题（如例题 3），最后的结果必须在实际意义的定义域内。