不等式的基本性质与解法

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考纲对齐

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不等式是CSCA考试中代数部分的核心工具。解不等式的过程，就是利用性质将复杂式子变形为 $x > a$ 或 $x < a$ 的过程。

* **传递性 (Transitivity)**：若 $a < b$ 且 $b < c$，则 $a < c$。

* **加法性质 (Addition)**：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向**不变**。

* $a < b \iff a+c < b+c$

* **乘法性质 (Multiplication) —— 🚩 唯一的陷阱！**

* 两边乘以**正数**，方向**不变**：$a < b, c > 0 \implies ac < bc$。

* 两边乘以**负数**，方向**反转**：$a < b, c < 0 \implies ac > bc$。

### 2. 各类不等式的通用解法

#### (1) 一元一次不等式 (Linear Inequalities)

* **方法**：移项 $\rightarrow$ 合并同类项 $\rightarrow$ 系数化为1。

* **注意**：当系数为负数时，切记**改变不等号方向**。

#### (2) 一元二次不等式 (Quadratic Inequalities)

形如 $ax^2+bx+c > 0 (a>0)$。

* **解法步骤**：

1. **求根**：解对应方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根 $x_1, x_2$ (设 $x_1 < x_2$)。

2. **画图**：画出开口向上的抛物线草图。

3. **看图写解**：

* 求 $>0$ (图像在x轴上方)：取两边，即 $x < x_1$ 或 $x > x_2$。

* 求 $<0$ (图像在x轴下方)：取中间，即 $x_1 < x < x_2$。

#### (3) 分式不等式 (Rational Inequalities)

形如 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$。

* **核心技巧**：利用**同号得正，异号得负**的原理，将其转化为整式不等式求解。

* $\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0$

* $\frac{f(x)}{g(x)} \le 0 \iff f(x) \cdot g(x) \le 0$ 且 $g(x) \neq 0$ (分母不为零)。

* 遇到高次或复杂不等式，通用的高级方法是**穿根法 (Method of Intervals/Wavy Curve Method)**，建议在进阶模块重点掌握。

* 解分式不等式时，严禁直接两边乘以分母（因为不知道分母的正负），必须移项通分或使用上述乘积转化法。