算术-几何平均不等式
英文对应词： Arithmetic-Geometric Mean Inequality (AM-GM)
AM-GM 不等式即算术—几何平均不等式：非负数的算术平均数不小于几何平均数，a=b 时取等号。查看公式、解释与练习。
考纲路径：集合与不等式 › 不等式的基本性质与解法 › 基本不等式
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CSCA 数学考试术语
术语释义
什么是 AM-GM 不等式？
Direct answer: AM-GM 不等式又称算术—几何平均不等式。对非负数 a、b，有 (a+b)/2≥√(ab)；当且仅当 a=b 时等号成立。对 n 个正数 x₁,…,xₙ，有 (x₁+…+xₙ)/n≥ⁿ√(x₁…xₙ)，等号同样要求所有数相等。
如何用基本不等式求最值
- 先确认参与 AM-GM 的每一项都非负；若分母含变量，还要先写出定义域。
- 把目标式拆成若干个乘积容易固定的非负项，例如把 x+9/x 看成 x 与 9/x 的和。
- 按项数使用 AM-GM：两项时 u+v≥2√(uv)，n 项时各项之和不小于 n 倍几何平均数。
- 写出等号条件并检查它是否满足定义域；只有等号能够实际取得，所得界才是最大值或最小值。
- 最后把等号条件代回原式核对数值，不要只写不等式而漏掉取值点。
例题：求 x+9/x（x>0）的最小值
因为 x>0，所以 x 与 9/x 都是正数，可以对这两项直接使用 AM-GM。
| 步骤 | 表达式 | 结果或条件 |
|---|---|---|
| 确认条件 | x>0，9/x>0 | 可使用 AM-GM |
| 应用两项 AM-GM | x+9/x≥2√(x·9/x) | 右侧等于 6 |
| 检查等号 | x=9/x | x²=9，因此 x=3 |
| 代回核对 | 3+9/3 | 最小值为 6 |
因此 x+9/x≥6，并且 x=3 时等号成立，所以最小值确实是 6。
使用 AM-GM 的常见错误
- 没有检查各项非负，就对含负数的项直接使用 AM-GM。
- 只得到一个下界，却没有验证等号条件能否在题目定义域内成立。
- 拆项后乘积并不固定，导致得到的界随变量变化，不能直接作为最值。
- 三项或更多项仍套用两项公式，或者遗漏 n 项公式中的系数 n。
来源与复核
Last reviewed: . 公式、等号条件与例题已按所引数学资料复核；考试范围和规则以 CSCA 官方信息为准。
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