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一元二次不等式

结合因式符号与判别式解一元二次不等式，区分两个实根、重根和无实根，并通过四个例题检查区间、端点及参数。

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教程正文

一元二次不等式

解一元二次不等式，就是找出使二次式满足指定大小关系的所有实数。对应方程的根决定抛物线与横轴的交点，二次项系数决定开口方向。把这两点结合起来，就能判断各区间内二次式的正负。

1. 先整理，再判断根的情况

把所有项移到同一边，使另一边为零，记

如果 $a<0$，可以把不等式两边乘以 $-1$，将二次项系数化为正数，同时改变不等号方向。这是方便判断的做法，并非必须步骤；也可以直接分析开口向下的抛物线。

再计算判别式 $\Delta=b^2-4ac$，判断对应方程有两个不等实根、一个二重实根，还是没有实根。

2. 有两个不等实根时

设 $a>0$、$\Delta>0$，两根为 $x_1<x_2$，则

分别检查各区间内两个因式的符号：

因此，$f(x)>0$ 取两根外侧的区间，$f(x)<0$ 取两根之间的区间。遇到 $\ge0$ 或 $\le0$，还要把使 $f(x)=0$ 的根纳入解集；严格不等式不取这两个端点。

如果 $a<0$ 且没有先乘以 $-1$，表中最后一列的正负要全部反过来，不能直接套用“外侧为正”的结论。

3. 重根和无实根怎样处理

下面均以 $a>0$ 为前提。

• 当 $\Delta=0$ 时，$f(x)=a(x-r)^2$，其中 $r=-b/(2a)$。除 $x=r$ 时等于零外，其余位置都大于零。所以 $f(x)>0$ 的解为 $\mathbb{R}\setminus\{r\}$，$f(x)<0$ 无解；$f(x)\ge0$ 的解为 $\mathbb{R}$，$f(x)\le0$ 的解为 $\{r\}$。
• 当 $\Delta<0$ 时，开口向上的抛物线不与横轴相交，二次式对所有实数都大于零。因此 $f(x)>0$、$f(x)\ge0$ 的解均为全体实数，$f(x)<0$、$f(x)\le0$ 均无解。

“对应方程没有实根”不等于“不等式没有解”，还要看二次式的符号和题目要求。

4. 例题与解析

例 1：取两根外侧

解 $x^2-5x+6>0$。因式分解得

二次项系数为正，两根为 $2$、$3$，二次式在两根外侧大于零。题目不允许等号成立，所以解集为

例 2：二次项系数为负

解 $-2x^2+4x-3\ge0$。两边乘以 $-1$，得到

此时 $\Delta=16-24=-8$。新的二次式恒大于零，不可能小于或等于零，故解集为 $\varnothing$。

也可以配方验证：$2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1>0$。

例 3：解集只有一个数

解 $x^2-4x+4\le0$。因为

平方项恒非负，只有 $x=2$ 时等于零，所以解集为 $\{2\}$。

例 4：由解集求系数

已知 $x^2+ax+b<0$ 的解集为 $(1,3)$，求 $a$、$b$。

二次项系数为 $1$，区间端点就是对应方程的两个根，因此

比较系数，得到 $a=-4$、$b=3$。

最后检查端点和原式限制

从所选区间中取值代入原不等式，核对符号；再检查端点是否允许取到。如果前面由分式或对数式变形而来，原有定义域限制仍要保留。含参数时，若二次项系数可能等于零，还需单独讨论退化为一次式或常数的情况。

延伸阅读

• OpenStax Intermediate Algebra：一元二次不等式（英文）

内容审校日期：2026 年 9 月 9 日。