圆的方程与性质
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教程正文
圆的方程与性质 (Equations and Properties of Circles)
圆是CSCA考试中几何部分的核心考点，题目通常结合直线、距离公式进行综合考察。掌握圆的两种方程形式以及“圆心到直线的距离”是解题的关键。
1. 圆的定义与标准方程 (Standard Equation)
圆是平面内到定点（圆心 Center）的距离等于定长（半径 Radius）的所有点的集合。
设圆心为 $C(a, b)$，半径为 $r$ $(r > 0)$。根据两点间距离公式，圆的**标准方程**为：
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$
* **特例**：若圆心在原点 $O(0,0)$，方程简化为 $x^2 + y^2 = r^2$。
### 2. 圆的一般方程 (General Equation)
将标准方程展开并整理，可以得到圆的**一般方程**：
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$
* **圆心坐标**：$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$
* **半径公式**：$r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$
* **判定条件**：只有当 $D^2 + E^2 - 4F > 0$ 时，该方程才表示一个实圆。
* 若 $=0$，表示一个点（点圆）；
* 若 $<0$，不表示任何图形。
3. 位置关系 (Positional Relationships)
这是考试中最高频的考点，尤其是“直线与圆”的关系。
#### 3.1 点与圆的位置关系
计算点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离 $d$：
* $d > r \Leftrightarrow$ 点在圆外 (Outside)
* $d = r \Leftrightarrow$ 点在圆上 (On the circle)
* $d < r \Leftrightarrow$ 点在圆内 (Inside)
#### 3.2 直线与圆的位置关系（**重点**）
判定直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与圆的位置关系，**首选“几何法”**，即比较圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的大小。
圆心 $(a, b)$ 到直线 $l$ 的距离公式：
$$d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
* **相交 (Intersecting)**：$d < r$ $\Rightarrow$ 有两个交点（割线 Secant）。
* **相切 (Tangent)**：$d = r$ $\Rightarrow$ 只有一个交点（切线 Tangent）。**这是求切线方程的核心条件。**
* **相离 (Disjoint)**：$d > r$ $\Rightarrow$ 无交点。
4. 圆的切线方程 (Equation of Tangent Line)
1. **过圆上一点的切线**（常用技巧）：
若点 $P(x_0, y_0)$ 在圆 $x^2 + y^2 = r^2$ **上**，则过点 $P$ 的切线方程为：
$$x_0x + y_0y = r^2$$
若圆为标准方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，则切线为：
$$(x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) = r^2$$
2. **过圆外一点的切线**：
设切线斜率为 $k$，写出点斜式方程，利用“圆心到直线的距离 $d=r$”求解 $k$。
5. 实战演练
**例题 1**：求经过点 $P(4, 2)$ 且圆心为 $C(1, -2)$ 的圆的方程。
**解**：
半径 $r = |CP| = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9+16} = 5$。
代入标准方程得：$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$。
**例题 2**：判断直线 $3x - 4y + 15 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 9$ 的位置关系。
**解**：
圆心为 $(0,0)$，半径 $r=3$。
圆心到直线的距离 $d = \frac{|3(0) - 4(0) + 15|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3$。
因为 $d = r$，所以直线与圆**相切**。
**例题 3**：求圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ 的圆心和半径。
**解**：
* 方法一（公式法）：$D=-4, E=6, F=-12$。
圆心 $(2, -3)$，半径 $r = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 36 - 4(-12)} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5$。
* 方法二（配方法）：
$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 12 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$。
圆心 $(2, -3)$，半径 $5$。