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圆的方程与性质

掌握圆的标准式与一般式，区分圆、单点和空集，利用距离判断直线与圆的位置关系，并通过三个例题检查圆心、半径和切线。

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适用对象

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教程正文

圆的方程与性质

圆的方程把圆心、半径和几何位置关系联系起来。本教程介绍标准式与一般式，并用距离公式判断点、直线与圆的位置关系。

1. 圆的定义与标准方程

圆是平面内到某个定点的距离等于正定长的所有点的集合。这个定点是圆心，定长是半径。

设圆心为 (a,b)(a,b)，半径为 r>0r>0。由两点间的距离公式可得标准方程：

(x−a)2+(y−b)2=r2.(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

若圆心为原点，方程简化为 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2。

圆心、半径与圆上点的关系

2. 一般方程与三种情形

展开标准方程，可写成

x2+y2+Dx+Ey+F=0.x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.

配方后得到

(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4.\left(x+\frac D2\right)^2+\left(y+\frac E2\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}.

左边是两个实数平方的和，因此应先判断右边的符号：

判定量方程表示的点集
D2+E2−4F>0D^2+E^2-4F>0半径大于零的圆
D2+E2−4F=0D^2+E^2-4F=0只有一个点 (−D/2,−E/2)(-D/2,-E/2)
D2+E2−4F<0D^2+E^2-4F<0没有实数点满足方程，点集为空

在第一种情形中，圆心为 (−D/2,−E/2)(-D/2,-E/2)，半径为

r=12D2+E2−4F.r=\frac12\sqrt{D^2+E^2-4F}.

等于零时有时称为“点圆”，但它不是半径大于零的圆；小于零时不能直接把根式当作实数半径。

3. 点、直线与圆的位置关系

以下均设圆的半径 r>0r>0。

点与圆

计算点 PP 到圆心的距离 dd：

  • d>rd>r：点在圆外。
  • d=rd=r：点在圆上。
  • d<rd<r：点在圆内。

直线与圆

设直线为 Ax+By+C=0Ax+By+C=0，其中 A,BA,B 不同时为零。圆心 (a,b)(a,b) 到直线的距离为

d=∣Aa+Bb+C∣A2+B2.d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

直线与圆相交、相切和相离的示意图

  • d<rd<r：直线与圆有两个交点，这条直线是割线。
  • d=rd=r：有一个交点，直线与圆相切。
  • d>rd>r：没有交点，直线与圆相离。

4. 切线方程

圆上一点处的切线

若 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 在圆 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 上，则该点处的切线为

x0x+y0y=r2.x_0x+y_0y=r^2.

对圆心为 (a,b)(a,b) 的圆，公式为

(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.

使用前必须确认 PP 在圆上；切线在切点处与半径垂直。

经过圆外一点的切线

若圆外点为 (x0,y0)(x_0,y_0)，可设非竖直切线为 y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)，再用圆心到直线的距离等于 rr 求 kk。

斜率形式不包含竖直直线，因此还要单独检查 x=x0x=x_0。它与圆相切的条件是 ∣x0−a∣=r|x_0-a|=r。

5. 例题

例题 1：已知圆心和圆上一点

求圆心为 (1,−2)(1,-2)、经过 P(4,2)P(4,2) 的圆的方程。

半径为

r=(4−1)2+(2−(−2))2=9+16=5.r=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{9+16}=5.

所以圆的方程是

(x−1)2+(y+2)2=25.(x-1)^2+(y+2)^2=25.

例题 2：判断直线与圆的位置关系

判断 3x−4y+15=03x-4y+15=0 与 x2+y2=9x^2+y^2=9 的位置关系。

圆心是 (0,0)(0,0)，半径是 33。圆心到直线的距离为

d=∣3(0)−4(0)+15∣32+(−4)2=155=3.d=\frac{|3(0)-4(0)+15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{15}{5}=3.

因为 d=rd=r，所以直线与圆相切。

例题 3：由一般式求圆心和半径

求 x2+y2−4x+6y−12=0x^2+y^2-4x+6y-12=0 的圆心和半径。

公式法： 取 D=−4D=-4、E=6E=6、F=−12F=-12，得到圆心 (2,−3)(2,-3)，且

r=1216+36−4(−12)=12100=5.r=\frac12\sqrt{16+36-4(-12)}=\frac12\sqrt{100}=5.

配方法：

(x−2)2−4+(y+3)2−9−12=0,(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0,

即

(x−2)2+(y+3)2=25.(x-2)^2+(y+3)^2=25.

因此圆心为 (2,−3)(2,-3)，半径为 55。两种方法得到的结果一致。

参考与核对

内容核对：2026 年 9 月 12 日。