圆的一般方程

圆的一般方程：配方后再判断是否有圆

关键结论： 对实系数方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0，配方得到 (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²−4F)/4。右边大于 0 时，圆心为 (−D/2,−E/2)，半径是右边的正平方根；等于 0 时只有一个点，小于 0 时没有实数点满足方程。

求圆心和半径的四步

1. 先检查 x² 与 y² 的系数相同且非零，并且没有 xy 项。若公共系数为 A，应把整个方程除以 A，再使用 D、E、F 的公式。
2. 把 x²+Dx 与 y²+Ey 分组，分别补上 (D/2)² 与 (E/2)²。等式另一边也要做相同的加法。
3. 化为 (x−h)²+(y−k)²=K。只有 K>0 时才有半径为 √K 的圆；K=0 与 K<0 应分别讨论。
4. 从括号中读出圆心 (h,k)，再核对符号。可把结果展开回原式，或代入一个圆上的点检查。

例题：求 2x²+2y²+16x−12y=0 的圆心和半径

先把整个方程除以 2，得到 x²+y²+8x−6y=0。配方为 (x+4)²−16+(y−3)²−9=0，即 (x+4)²+(y−3)²=25。因此圆心为 (−4,3)，半径为 5。点 (1,3) 到圆心的距离为 5，代回原方程也得到 0。若只改变标准化一般式中的常数 F，结果如下。

看到 x²+y² 还不足以断定方程表示圆。必须先标准化系数，再检查配方后右端是否严格大于零。

常见错误与边界情况

• 把 (x+4)² 中的 4 直接当作圆心横坐标。应与 (x−h)² 对照，得到 h=−4。
• 只把二次项除以公共系数，漏除一次项或常数项。这样得到的已不是原来的方程。
• 把右端 25 写成半径。它是半径的平方，半径为正数 5。
• 把 K=0 也当成半径为正的圆，或对 K<0 取实数平方根。前者退化为一个点，后者在实平面上没有解。
• 对 2x²+y²−1=0 直接套本公式。它的两个二次项系数不同，需要另行判断曲线类型。

方法参考与例题说明

• OpenStax Intermediate Algebra 2e：距离公式与圆的方程

最近复核：2026-09-11。配方法参考以上资料；本页数值例题与参数对照为 AICSCA 自编练习，不是官方考试原题。