一元二次不等式
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- 一元二次不等式解集口诀 ( a > 0, Δ > 0 )
- 一元二次不等式解集规则（a > 0）
- 一元二次不等式标准形式
- 判别式与根的关系
- 一元二次不等式与对应方程根的关系
- 判别式 Δ 与解集类型
- 一元二次方程求根公式
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教程正文
一元二次不等式 (Quadratic Inequalities)
一元二次不等式是CSCA考试中的高频考点。求解的核心在于**“数形结合”**——即通过画出二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像（抛物线）来确定 $x$ 的取值范围。
1. 通用解法步骤 (Standard Steps)
**口诀**：“一化正，二求根，三画图，四写解”。
1. **一化正 (Standardize)**：
* 确保二次项系数 $a > 0$。如果 $a < 0$，两边乘以 $-1$，并**改变不等号方向**。
* 移项使不等式右边为 $0$。
2. **二求根 (Find Roots)**：
* 解对应方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 和根。
3. **三画图 (Sketch Graph)**：
* 画出开口向上的抛物线草图。
* 根据根的情况（$\Delta$）确定图像与 $x$ 轴的交点。
4. **四写解 (Write Solution)**：
* 观察图像在 $x$ 轴上方（$>0$）或下方（$<0$）的部分。
* **重要结论 ($a > 0, \Delta > 0$ 时)**：
* **大于取两边**：$ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow x < x_1 \text{ 或 } x > x_2$
* **小于取中间**：$ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow x_1 < x < x_2$
### 2. 判别式与解集分类 (Classification by Discriminant)
当 $a>0$ 时，解集的情况完全取决于 $\Delta$ 的符号。请结合下图理解记忆：
| 判别式 (Discriminant) | $\Delta > 0$ (有两个不等实根) | $\Delta = 0$ (有两个相等实根) | $\Delta < 0$ (无实根) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **图像特征** | 与 $x$ 轴有两个交点 $x_1, x_2$ | 与 $x$ 轴相切于点 $x_1$ | 在 $x$ 轴上方悬空 |
| **$f(x) > 0$ 的解** | $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ | $x \ne x_1$ | $\mathbb{R}$ (全体实数) |
| **$f(x) < 0$ 的解** | $(x_1, x_2)$ | $\varnothing$ (无解) | $\varnothing$ (无解) |
3. 典型例题 (Worked Examples)
**例1：标准型 ($\Delta > 0$)**
解不等式 $x^2 - 5x + 6 > 0$。
**解**：
1. 方程 $x^2-5x+6=0$ 的根为 $x=2, x=3$。
2. 画草图，抛物线开口向上，交点为 $2, 3$。
3. 不等式为 $>0$，根据“大于取两边”。
**答**：解集为 $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$。
**例2：化正型 ($a < 0$)**
解不等式 $-2x^2 + 4x - 3 \ge 0$。
**解**：
1. **化正**：两边乘 $-1$，变号为 $2x^2 - 4x + 3 \le 0$。
2. **判别式**：$\Delta = 16 - 24 = -8 < 0$。
3. **分析**：$a=2>0$ 且 $\Delta < 0$，图像开口向上且**恒在 $x$ 轴上方**（即恒 $>0$）。
4. **结论**：题目要求 $\le 0$，但函数恒 $>0$，故不可能成立。
**答**：解集为 $\varnothing$ (空集)。
**例3：完全平方式 ($\Delta = 0$)**
解不等式 $x^2 - 4x + 4 \le 0$。
**解**：
1. 配方得 $(x-2)^2 \le 0$。
2. 平方数恒 $\ge 0$，要使 $\le 0$ 成立，仅有 $=0$ 一种情况。
**答**：解集为 $\{2\}$。
**例4：逆向求解**
已知不等式 $x^2 + ax + b < 0$ 的解集为 $(1, 3)$，求 $a, b$。
**解**：
解集为 $(1, 3)$ 意味着方程 $x^2+ax+b=0$ 的两根为 $1$ 和 $3$。
由韦达定理：
$1+3 = -a \Rightarrow a=-4$
$1\times3 = b \Rightarrow b=3$
**答**：$a=-4, b=3$。