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基本不等式

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教程正文

基本不等式 (The AM-GM Inequality)

在CSCA考试中，基本不等式是解决**最值问题**（最大值/最小值）的核武器，特别是涉及倒数关系（如 $x$ 与 $\frac{1}{x}$）的题目。中国数学教学中常称其为“均值不等式”。

1. 核心公式

对于任意两个**正实数** $a, b$ (即 $a > 0, b > 0$)，有：

$$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

* **变形公式 1 (求和的最小值)**：$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

* **变形公式 2 (求积的最大值)**：$ab \le (\frac{a + b}{2})^2$

* **等号成立条件**：当且仅当 $a = b$ 时，等号成立（即取到最值）。

2. 几何意义与直观理解

基本不等式可以通过半圆中的几何关系来证明。在直径为 $a+b$ 的半圆中，半径（算术平均数）总是大于或等于半弦长（几何平均数）。

### 3. 解题通法：一正、二定、三相等

这是使用基本不等式必须满足的三个前提，缺一不可：

1. **一正**：各项必须为**正数**。若为负，需提取负号变形。

2. **二定**：求和的最小值，要求**积是定值**；求积的最大值，要求**和是定值**。

3. **三相等**：必须验证等号成立的条件（$a=b$）是否在定义域内。若取不到相等，则无法使用此公式求最值（需用单调性）。

4. 典型模型：对勾函数 (Hook Function)

形如 $f(x) = x + \frac{k}{x} (k>0, x>0)$ 的函数是基本不等式的直接应用。其图像形状像一个“耐克”对勾，掌握其图像对快速解题非常有帮助。

* 最小值点：当 $x = \sqrt{k}$ 时，$y_{min} = 2\sqrt{k}$。

5. 实战例题

**例1：基础倒数模型**

已知 $x > 0$，求 $y = x + \frac{4}{x}$ 的最小值。

**解**：

1. **一正**：$x>0$，符合。

2. **二定**：积 $x \cdot \frac{4}{x} = 4$ (定值)。

3. **应用**：$y \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$。

4. **三相等**：令 $x = \frac{4}{x} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2$。因为 $x=2 > 0$，等号能成立。

**答**：最小值为 4。

**例2：凑定值技巧**

已知 $x > 2$，求 $y = x + \frac{1}{x-2}$ 的最小值。

**解**：

直接乘 $x \cdot \frac{1}{x-2}$ 不是定值。需将 $x$ 变形为 $(x-2) + 2$。

$y = (x-2) + \frac{1}{x-2} + 2$

因为 $x > 2$，所以 $x-2 > 0$ (符合正数条件)。

利用基本不等式：

$(x-2) + \frac{1}{x-2} \ge 2\sqrt{(x-2) \cdot \frac{1}{x-2}} = 2$

所以 $y \ge 2 + 2 = 4$。

等号成立条件：$x-2 = \frac{1}{x-2} \Rightarrow (x-2)^2=1 \Rightarrow x=3$。

**例3：进阶拆项（了解）**

已知 $x > 0$，求 $y = 2x + \frac{8}{x^2}$ 的最小值。

**注意**：两项直接乘积 $2x \cdot \frac{8}{x^2} = \frac{16}{x}$ 不是定值。需将 $2x$ 拆分为 $x + x$，构造三项积为定值。

**三元均值不等式**：$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$。

$y = x + x + \frac{8}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{x \cdot x \cdot \frac{8}{x^2}} = 3\sqrt[3]{8} = 6$。

等号成立条件：$x = x = \frac{8}{x^2} \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2$。