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函数单调性

区分严格递增、严格递减与非递减、非递增，结合导数、区间端点和两个例题，检查单调性解题中的定义与适用条件。

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教程正文

函数单调性

单调性描述自变量增大时，函数值如何变化。判断单调性时，要同时说明所考察的区间，以及是否允许函数值保持不变。

1. 严格单调与非严格单调

设区间 $I$ 包含在函数 $f$ 的定义域内。对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $x_1<x_2$：

非递减和非递增都允许出现函数值相等的情形。例如，常数函数既非递减又非递增，但在有不同输入值的区间上并不严格单调。

“递增”“单调递增”在不同教材中的用法可能不同。有的表示严格递增，有的表示非递减。本教程明确区分两者，下面例题中的递增、递减均采用严格含义；阅读其他题目时，应以题目给出的定义为准。

一个函数可以在某个区间上单调，而在整个定义域上不单调。结论中的区间不能省略。

2. 判断单调性

用导数判断

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续，并在区间内部可导。考察区间内部各点的导数：

• 若处处有 $f'(x)>0$，则 $f$ 在 $I$ 上严格递增。
• 若处处有 $f'(x)<0$，则 $f$ 在 $I$ 上严格递减。
• 若处处有 $f'(x)\ge0$，可推出非递减；若处处有 $f'(x)\le0$，可推出非递增。
• 若处处有 $f'(x)=0$，则 $f$ 在该区间上为常数。

严格递增不要求每一点的导数都大于零。例如，$f(x)=x^3$ 在 $\mathbb R$ 上严格递增，但 $f'(0)=0$。因此，不能仅凭某一点的导数为零，就判定函数不是严格递增。

用定义判断

任取 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1<x_2$，判断 $f(x_1)-f(x_2)$ 的符号。若对每一对这样的输入，差都小于零，则严格递增；若差都大于零，则严格递减。将不等号换为 $\le$ 或 $\ge$，分别得到非递减或非递增的判定。

只比较几个选定的点不足以证明整个区间上的单调性。

3. 例题

例题 1：利用导数求单调区间

求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间。

函数的定义域为 $\mathbb R$，导数为

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$

• 当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时，$f'(x)>0$。
• 当 $-1<x<1$ 时，$f'(x)<0$。
• 当 $x=\pm1$ 时，$f'(x)=0$。

因此，严格递增区间可写为 $(-\infty,-1]$ 和 $[1,+\infty)$，严格递减区间为 $[-1,1]$。函数在端点处连续，所以这里可以包含端点；端点处的导数为零并不破坏这些区间上的严格单调性。

例题 2：利用严格递增性解不等式

已知 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，且 $f(2)=5$。求该区间内不等式 $f(x)<5$ 的解集。

将 $5$ 写成 $f(2)$。由严格递增性，

$f(x)<f(2)\iff x<2.$

结合 $x\ge0$，得到解集 $[0,2)$。

这里不能把“严格递增”弱化为“非递减”。若只知道非递减，仍可由 $f(x)<f(2)$ 推出 $x<2$，但反过来不一定成立，因为函数可能在一段区间上保持为 $5$。

4. 检查容易遗漏的条件

• 先确定定义域。 分母不能为零，实数范围内的偶次根式要满足被开方数非负等条件。
• 分开的区间要分别检查。 不能仅凭函数在两个区间上分别递减，就断言它在两者的并集上递减。例如，$1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别严格递减，但取 $-1<1$ 时有 $f(-1)=-1<f(1)=1$，不满足整个定义域上的递减关系。
• 注意严格不等号。 利用单调性把函数值不等式改写为自变量不等式时，要核对题目采用的是哪种定义。

参考与核对

内容核对：2026 年 9 月 12 日。

Jiří Lebl《Basic Analysis》§3.6：单调与严格单调的定义