函数单调性
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教程正文
函数单调性 (Monotonicity of Functions)
1. 概念 (Concept)
函数的**单调性**描述的是函数值随自变量增大而变化的趋势。它是函数图像“上升”或“下降”特征的数学表达。
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$。
* **单调递增 (Increasing)**：如果对于区间 $I$ 上**任意**两个自变量 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$。图像从左向右呈**上升**趋势。
* **单调递减 (Decreasing)**：如果对于区间 $I$ 上**任意**两个自变量 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$。图像从左向右呈**下降**趋势。
> **注意**：单调性是针对某个**区间**而言的局部性质。一个函数在整个定义域上可能不具有单调性，但在某些局部区间上是单调的。
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2. 判别方法 (Methods of Determination)
#### (1) 导数法 (Derivative Method) —— **最常用**
对于可导函数 $f(x)$，利用导数 $f'(x)$ 的符号来判断单调性是最高效的方法。
* 若在区间 $I$ 上 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上**单调递增**。
* 若在区间 $I$ 上 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上**单调递减**。
* 若在区间 $I$ 上 $f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是**常数函数**。
#### (2) 定义法 (Definition Method)
任取 $x_1, x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$，判断作差 $f(x_1) - f(x_2)$ 的符号。
* 若差 $<0$，则递增。
* 若差 $>0$，则递减。
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3. 典型例题
**例题 1：利用导数求单调区间**
求函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调区间。
**解**：
1. **求定义域**：$x \in \mathbb{R}$。
2. **求导数**：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$。
3. **解不等式**：
* 令 $f'(x) > 0$：即 $(x-1)(x+1) > 0$，解得 $x > 1$ 或 $x < -1$。
* 令 $f'(x) < 0$：即 $(x-1)(x+1) < 0$，解得 $-1 < x < 1$。
**结论**：
* 单调递增区间：$(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$。
* 单调递减区间：$[-1, 1]$。
**例题 2：单调性的应用**
已知函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，且 $f(2)=5$，解不等式 $f(x) < 5$。
**解**：
因为 $f(2)=5$，原不等式等价于 $f(x) < f(2)$。
根据函数的单调递增性质，函数值小意味着自变量也小，故 $x < 2$。
同时考虑定义域限制 $x \in [0, +\infty)$。
所以解集为 $\{ x | 0 \le x < 2 \}$，即 $[0, 2)$。
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4. 常见错误警示
* **忽略定义域**：在解不等式或求单调区间时，忘记了函数原本的定义域限制（如根号下非负、分母不为零）。
* **区间并集写法错误**：如果函数在区间 A 递增，在区间 B 也递增，但 A 和 B 不连续，**不能**写成 $A \cup B$（并集），只能分别列出。例如 $y=1/x$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 递减，但不能说在定义域上递减。