单调递减

单调递减：比较函数值，而不是正负

关键结论： 在同一区间内任取 x₁<x₂，如果总有 f(x₁)≥f(x₂)，函数就单调不增，也叫非递增；本词条的“单调递减”采用这一非严格约定。如果总有 f(x₁)>f(x₂)，则是严格递减。判断时看输入增大后函数值是否下降，不是看函数值本身是否为负。

用作差法判断递减

1. 先确认定义域，再写出准备讨论的一个区间。分母为零等不允许的点不能包含在区间内。
2. 在区间内任取 x₁<x₂，计算 f(x₂)−f(x₁)，不要在中途调换作差顺序。
3. 若差对任意两点都不大于零，则函数单调不增；若总小于零，则函数严格递减。
4. 遇到分段函数时，不但要检查每一段内部，还要检查两点落在不同段的情况。两段都下降，不代表跨过分界点后仍下降。

例题：证明 g(x)=8−3x 在实数范围内严格递减

任取实数 x₁<x₂，作差得 g(x₂)−g(x₁)=−3(x₂−x₁)。因为 x₂−x₁>0，乘以 −3 后差为负，所以较大的输入总对应较小的函数值。下表列出几个便于核对的值。

g(x)=8−3x 在整个实数范围内严格递减。表中的函数值虽然都为正，却一直在减小；“递减”与“取负值”没有等价关系。

反例与常见错误

• 遗漏严格与非严格的区别。常数函数 h(x)=5 单调不增，但并不严格递减；题目要求严格递减时不能接受水平段。
• 把 1/x 的两个递减区间直接并起来。它在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上分别严格递减，但 −1<1 而 1/(−1)=−1<1=1/1，所以不能说它在整个定义域上递减。
• 只看到 f(x₂)−f(x₁) 中有负号就下结论。还要用区间条件判断其他因子或分母的符号。
• 只比较两个数就试图证明所有输入都满足条件。一对违反条件的数能推翻结论，几个符合条件的数却不能代替证明。

定义参考与例题说明

• Wolfram：非递增与严格递减的定义
• OpenStax Precalculus 2e：函数的增减区间

最近复核：2026-09-10。定义参考以上资料；本页例题与反例为 AICSCA 自编练习，不是官方考试原题。