数列

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考纲对齐

本教程依据公开的 CSCA 来华留学本科入学考试考纲整理，覆盖对应知识点。

适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

教程正文

数列 (Sequences)

1. 核心概念 (Core Concepts)

**数列 (Sequence)** 是按一定顺序排列的一列数。在函数视角下，数列是一个定义域为正整数集 $\mathbb{N}^*$（或其子集）的函数 $f(n)$。当自变量 $n$ 依次取 $1, 2, 3, ...$ 时，对应的函数值 $a_n$ 就构成了数列。

* **通项公式 (General Term)**：表示第 $n$ 项 $a_n$ 与序号 $n$ 关系的公式，即 $a_n = f(n)$。

* **前 n 项和 (Sum of First n Terms)**：数列的前 $n$ 项之和，记为 $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$。

* **$a_n$ 与 $S_n$ 的关系**：这是考试高频考点。

$$a_n = \begin{cases} S_1 & (n=1) \\ S_n - S_{n-1} & (n \ge 2) \end{cases}$$

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2. 等差数列 (Arithmetic Sequence)

**定义**：从第2项起，每一项与前一项的**差**等于同一个常数（公差 $d$）。

$$a_{n} - a_{n-1} = d$$

**图像特征**：

等差数列的图像是一组**共线**的离散点。如果不考虑定义域限制，它对应一条直线 $y = dx + (a_1-d)$。

**核心公式**：

1. **通项公式**：$a_n = a_1 + (n-1)d$

2. **求和公式**：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

3. **中项性质**：若 $a, b, c$ 成等差数列，则 $2b = a + c$。

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3. 等比数列 (Geometric Sequence)

**定义**：从第2项起，每一项与前一项的**比**等于同一个常数（公比 $q, q\neq 0$）。

$$\frac{a_n}{a_{n-1}} = q$$

**图像特征**：

当 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ 时，等比数列的图像是指数函数 $y = a \cdot q^x$ 图像上的离散点。

**核心公式**：

1. **通项公式**：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

2. **求和公式**：

* 当 $q = 1$ 时，$S_n = n a_1$

* 当 $q \neq 1$ 时，$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

3. **中项性质**：若 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b^2 = ac$（注意 $b$ 的符号）。

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4. 典型例题与技巧

**例题 1 (等差数列求和)**：

已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2, a_{10}=29$，求 $S_{10}$。

* **解**：利用梯形面积公式记忆等差求和：$S_{10} = \frac{10(a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10(2+29)}{2} = 155$。

**例题 2 (判定)**：

已知 $S_n = n^2 + n$，求 $a_n$ 并判断数列类型。

* **解**：

* $a_1 = S_1 = 2$

* $n \ge 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+n) - [(n-1)^2+(n-1)] = 2n$。

* 验证 $n=1$ 时 $2 \times 1 = 2$，符合。

* 通项 $a_n = 2n$，是关于 $n$ 的一次函数，故为等差数列。

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