等差数列通项公式及求和
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教程正文
等差数列通项公式及求和 (Arithmetic Sequence: Formula & Summation)
1. 核心概念 (Core Concepts)
**定义**：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的**差**等于同一个常数，这个数列就叫做**等差数列**。这个常数叫做**公差 (Common Difference)**，通常用 $d$ 表示。
**数学表达**：
$$a_{n} - a_{n-1} = d \quad (n \ge 2)$$
**函数视角**：
等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 可以整理为 $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$。这表明，等差数列的图像是分布在一条直线 $y = dx + (a_1-d)$ 上的一系列**离散点**。公差 $d$ 相当于直线的**斜率**。
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2. 核心公式 (Key Formulas)
#### (1) 通项公式 (General Term)
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
* **推广公式**：$a_n = a_m + (n-m)d$ （已知第 $m$ 项求第 $n$ 项，无需非得求 $a_1$）
#### (2) 前 n 项和公式 (Summation)
记 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$。
* **公式一（知首末）**：
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
*直观理解*：(首项 + 末项) $\times$ 项数 $\div 2$。类似于梯形面积公式。
* **公式二（知首项和公差）**：
$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$$
**推导思维（倒序相加法）**：
将数列正着写一遍，再倒着写一遍，上下相加，每一列的和都是 $(a_1 + a_n)$。此方法在 CSCA 考试中常用于解决复杂求和问题。
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3. 重要性质 (Key Properties)
在解题中利用性质往往比直接套公式更快：
1. **等差中项**：若 $a, b, c$ 成等差数列，则 $2b = a + c$。
2. **下标和性质**：若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$。
* 例如：$a_1 + a_{10} = a_3 + a_8 = a_5 + a_6$。
* 特别地，若 $m+n=2k$，则 $a_m + a_n = 2a_k$。
3. **片段和性质**：$S_n, S_{2n}-S_n, S_{3n}-S_{2n}, \dots$ 也成等差数列（公差为 $n^2d$）。
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4. 典型例题
**例题 1：利用推广公式求通项**
已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3 = 8$，$a_7 = 20$，求 $a_{15}$。
**解**：
直接利用推广公式：$a_7 = a_3 + (7-3)d$。
$20 = 8 + 4d \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3$。
再求 $a_{15}$：$a_{15} = a_7 + (15-7)d = 20 + 8 \times 3 = 44$。
**例题 2：利用下标和性质求和**
在等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_4 + a_8 = 16$，求 $S_{11}$。
**解**：
根据求和公式 $S_{11} = \frac{11(a_1 + a_{11})}{2}$。
利用下标和性质：$1 + 11 = 4 + 8 = 12$，所以 $a_1 + a_{11} = a_4 + a_8 = 16$。
代入得：$S_{11} = \frac{11 \times 16}{2} = 88$。
*注：此题若去解 $a_1$ 和 $d$ 会因条件不足而卡住，必须用性质。*
**例题 3：倒序相加法应用**
求和：$f(x) = \frac{1}{1+2^x}$，求 $S = f(-5) + f(-4) + \dots + f(0) + \dots + f(5)$。
**解**：
观察 $f(x) + f(-x) = \frac{1}{1+2^x} + \frac{1}{1+2^{-x}} = \frac{1}{1+2^x} + \frac{2^x}{2^x+1} = 1$。
这类似于等差数列的“首尾配对”。
原式中 $x$ 从 $-5$ 到 $5$ 共 11 项。
$f(-5)+f(5)=1, f(-4)+f(4)=1, \dots, f(0)=1/2$。
共 5 对加一个中间项：$5 \times 1 + 0.5 = 5.5$。
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5. 常见错误警示
* **项数错误**：计算 $S_n$ 时，务必数清楚项数 $n$。例如从第 3 项到第 8 项是 $8-3+1=6$ 项，不是 5 项。
* **混淆 $a_n$ 与 $S_n$**：$a_n$ 是第 $n$ 个数，$S_n$ 是前 $n$ 个数的总和。
* **忽视公差 $d$ 为负数的情况**：等差数列可以是递减的，此时 $d < 0$。