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函数图像

用描点、平移、伸缩和对称变换绘制函数图像，通过正弦与分式函数例题，区分水平、斜渐近线与垂直渐近线的性质。

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教程正文

函数图像

函数 $f$ 的图像是平面直角坐标系中所有满足 $y=f(x)$ 的点 $(x,y)$ 的集合。读图时，可以依次检查：

• 定义域和值域： 图像中实际出现的横坐标和纵坐标，注意空心点和缺口。
• 单调性： 函数在哪些区间上递增或递减。
• 对称性： 偶函数的图像关于 $y$ 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；讨论奇偶性时，定义域也应关于零对称。
• 零点和截距： 函数零点是满足 $f(x)=0$ 的横坐标，对应图像与 $x$ 轴的交点；若 $0$ 在定义域内，纵截距为 $(0,f(0))$。

1. 描点与变换

描点法

先列出关键点，再描点，并结合函数性质画出图像。关键点可包括零点、极值点、拐点和定义域端点。连线时要检查连续性，不能跨过定义域的缺口随意连接。

图像变换

从 $y=x^2$、$y=\sin x$、$y=e^x$ 等熟悉的图像出发，可以通过平移、伸缩和对称变换作图。

以下平移量 $h,k$ 均为正数：

• $y=f(x+h)$：向左平移 $h$；$y=f(x-h)$：向右平移 $h$。
• $y=f(x)+k$：向上平移 $k$；$y=f(x)-k$：向下平移 $k$。
• $y=Af(x)$：当 $A>1$ 时纵向伸长，当 $0<A<1$ 时纵向压缩。
• $y=f(\omega x)$：横坐标缩放为原来的 $1/\omega$。当 $\omega>1$ 时横向压缩，当 $0<\omega<1$ 时横向伸长。
• $y=-f(x)$：关于 $x$ 轴对称；$y=f(-x)$：关于 $y$ 轴对称。
• $y=|f(x)|$：保留 $x$ 轴上方及轴上的部分，将下方部分翻折到上方。

这里的伸缩规则假设 $A,\omega>0$；负系数还需要考虑对应的对称变换。

2. 例题

例题 1：三角函数的变换

画出 $y=2\sin(3x-\frac{\pi}{2})+1$ 的示意图。

先提取括号内的系数：

$y=2\sin\left[3\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]+1.$

从 $y=\sin x$ 出发：

1. 横向压缩，使横坐标变为原来的 $1/3$，得到 $y=\sin(3x)$，周期为 $2\pi/3$。
2. 向右平移 $\pi/6$，得到 $y=\sin[3(x-\pi/6)]$。
3. 纵向伸长为原来的 $2$ 倍，振幅变为 $2$。
4. 向上平移 $1$，得到目标函数。

因此，图像的中线为 $y=1$，值域为 $[-1,3]$。水平平移量是 $\pi/6$，不是原式中的 $\pi/2$。

例题 2：分式函数与渐近线

作 $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ 的图像。

先改写为

$f(x)=1+\frac{3}{x-2},\qquad x\ne2.$

由 $y=3/x$ 的图像向右平移 $2$、再向上平移 $1$，即可得到目标图像。

• 垂直渐近线为 $x=2$。该点不在定义域内，且当 $x$ 从两侧趋近 $2$ 时，函数值分别趋向负无穷和正无穷。
• 水平渐近线为 $y=1$，因为当 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时，$3/(x-2)\to0$。
• 纵截距为 $(0,-1/2)$，横截距为 $(-1,0)$。

本例中 $3/(x-2)$ 不可能等于零，所以图像不与水平渐近线 $y=1$ 相交。但这不是所有函数都满足的规则。

3. 渐近线是否可以与图像相交？

水平渐近线和斜渐近线描述的是远处的变化趋势，不是禁止图像穿过的边界。 图像可能在有限位置与它们相交。

例如，

$g(x)=\frac{x}{x^2+1}$

在 $x\to\pm\infty$ 时趋于零，因而有水平渐近线 $y=0$；但 $g(0)=0$，且零点两侧的函数值异号，所以图像会穿过这条渐近线。

对本教程中的分式函数，若 $x=a$ 是垂直渐近线，则 $a$ 不在该函数的定义域内，不能将两侧分支穿过 $x=a$ 连起来。分母为零也不一定产生垂直渐近线：约分后可能只是缺失点，仍要检查函数在附近的行为。

4. 作图前的检查

• 先求定义域，再确定哪些点可以画在图像上。
• 遇到 $f(\omega(x-h))$，先识别括号内的结构；不要把展开式中的常数直接当作平移量。
• 检查函数是否存在渐近线，并用虚线标出。是否与水平或斜渐近线相交，应通过方程判断，不能一概排除。

参考与核对

内容核对：2026 年 9 月 12 日。

• OpenStax：函数图像的变换
• OpenStax：分式函数、缺失点与渐近线