单调递增

单调递增：先分清是否允许相等

关键结论： 在同一区间内任取 x₁<x₂，如果总有 f(x₁)≤f(x₂)，函数就单调不减，也叫非递减；本词条的“单调递增”采用这一非严格约定。如果总有 f(x₁)<f(x₂)，则是严格递增。不同教材对“递增”的约定可能不同，做题时应以题目给出的不等式为准。

不用导数，怎样证明递增

1. 先写出要讨论的区间，并确认函数在整个区间上都有定义。单调性必须和区间一起说明。
2. 在该区间内任取 x₁<x₂，计算 f(x₂)−f(x₁)。任取表示结论要对每一对这样的数成立，而不只是几个样本。
3. 把差式因式分解，利用区间条件判断每个因子的符号。差始终非负可证明单调不减；差始终为正可证明严格递增。
4. 写出结论对应的区间。若图像在某处改变升降方向，应分区间讨论，不能把局部结论直接推广到整个定义域。

例题：证明 f(x)=x²+2 在 [0,+∞) 上严格递增

任取 0≤x₁<x₂，则 f(x₂)−f(x₁)=x₂²−x₁²=(x₂−x₁)(x₂+x₁)。第一个因子为正；因为 x₂>x₁≥0，第二个因子也为正，因此函数值之差为正。下表只是对这一结论的直观核对，证明来自上述任意两点的比较。

所以 f(x)=x²+2 在 [0,+∞) 上严格递增，也满足单调不减。它并非在所有实数上递增：例如 −2<−1，但 f(−2)=6>3=f(−1)。

三个容易混淆的地方

• 把“递增”理解为函数值必须为正。f(x)=x−10 在实数范围内严格递增，即使某些函数值是负数。
• 把水平段也称为严格递增。常数函数 f(x)=4 满足单调不减和单调不增，但不满足严格递增或严格递减。
• 只比较区间的两个端点，或只看表格中的几个数，就认定整个区间递增。中间可能出现下降，仍须比较任意两点或采用适用的证明方法。

定义参考与例题说明

• Wolfram：非递减、非递增与严格单调的定义
• OpenStax Precalculus 2e：函数的增减区间

最近复核：2026-09-10。定义参考以上资料；本页例题为 AICSCA 自编练习，不是官方考试原题。