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向量的运算

CSCA 数学「向量的运算」知识点教程，依据公开的 CSCA 考纲整理，含练习入口。

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适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

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教程正文

向量的运算 (Vector Operations)

向量运算不仅是计算工具，更是解决几何问题的核心方法。CSCA考试中，重点考察**坐标运算**以及**平行与垂直的判定条件**。

1. 向量的基本概念 (Basic Concepts)

* **定义**：既有大小又有方向的量。常用有向线段 $\vec{AB}$ 或小写字母 $\vec{a}$ 表示。

* **坐标表示**：在平面直角坐标系中，若 $\vec{a}$ 起点在原点，终点为 $(x, y)$，则记作 $\vec{a} = (x, y)$。

* **模 (Modulus/Magnitude)**：向量的长度，记作 $|\vec{a}|$。

$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

2. 线性运算 (Linear Operations)

线性运算包括加法、减法和数乘。我们要同时掌握它们的**几何意义**（画图）和**坐标公式**（计算）。

1| 运算 | 几何法则 | 坐标公式 | 备注 |

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| **加法** $\vec{a}+\vec{b}$ | **平行四边形法则**或**三角形法则**（首尾相接） | $(x_1+x_2, y_1+y_2)$ | 交换律、结合律成立 |

| **减法** $\vec{a}-\vec{b}$ | **三角形法则**（共起点，指向被减数） | $(x_1-x_2, y_1-y_2)$ | 减法是加法的逆运算 |

| **数乘** $\lambda\vec{a}$ | $\lambda$ 改变长度，符号改变方向 | $(\lambda x, \lambda y)$ | $\lambda > 0$ 同向；$\lambda < 0$ 反向 |

3. 两个重要判定 (Parallel & Perpendicular)

这是考试中极其重要的考点，务必区分记忆：

设 $\vec{a}=(x_1, y_1), \vec{b}=(x_2, y_2)$，且 $\vec{b} \neq \vec{0}$。

1. **向量平行 (Collinear/Parallel)**：

$$\vec{a} // \vec{b} \iff x_1y_2 - x_2y_1 = 0$$

*(记忆口诀：交叉相乘相等)*

2. **向量垂直 (Perpendicular)**：

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

*(记忆口诀：坐标对应相乘之和为零)*

4. 数量积 / 点积 (Dot Product)

数量积的结果是一个**实数（标量）**，而不是向量。

2* **定义公式**：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$$

其中 $\theta$ 是两向量的夹角 ($0 \le \theta \le \pi$)。

* **坐标公式**：

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$

* **重要应用**：

1. **求夹角**：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

2. **求模长**：$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$，即 $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$。

5. 典型例题

**例1**（线性运算）：已知 $\vec{a}=(1, 2), \vec{b}=(-3, 1)$，求向量 $2\vec{a} - \vec{b}$ 的坐标及其模长。

**解**：

$2\vec{a} - \vec{b} = 2(1, 2) - (-3, 1) = (2, 4) - (-3, 1) = (5, 3)$。

模长 $|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$。

**例2**（平行与垂直）：已知 $\vec{a}=(k, 2), \vec{b}=(1, -3)$。

(1) 若 $\vec{a} // \vec{b}$，求 $k$；(2) 若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，求 $k$。

**解**：

(1) 平行条件：$x_1y_2 - x_2y_1 = 0 \Rightarrow k(-3) - 1(2) = 0 \Rightarrow -3k = 2 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}$。

(2) 垂直条件：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0 \Rightarrow k(1) + 2(-3) = 0 \Rightarrow k - 6 = 0 \Rightarrow k = 6$。

**例3**（求夹角）：已知 $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$。

**解**：

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{2 \times 3} = -\frac{1}{2}$。

因为 $0 \le \theta \le \pi$，且 $\cos\theta = -\frac{1}{2}$，所以 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$)。