函数的概念与性质
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教程正文
函数的概念与性质
1. 核心概念：什么是函数？
**定义**：设 $A$ 和 $B$ 是两个非空实数集。如果按照某种确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的**任意一个**数 $x$，在集合 $B$ 中都有**唯一确定**的数 $f(x)$ 和它对应，那么就称 $f: A o B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。记作：
$$y = f(x), \quad x \in A$$
* **定义域 (Domain)**：自变量 $x$ 的取值范围，即集合 $A$。
* **值域 (Range)**：函数值 $f(x)$ 的集合 $\{ f(x) | x \in A \}$。
> **注意**：函数的关键在于“唯一性”。一个 $x$ 只能对应一个 $y$（单值对应），但不同的 $x$ 可以对应同一个 $y$（多对一）。
---
2. 函数的四大基本性质
在 CSCA 考试中，分析函数的性质是解题的关键。
#### (1) 单调性 (Monotonicity)
描述函数值随自变量变化的趋势。设区间 $I$ 是定义域的一部分：
* **单调递增**：对于区间 $I$ 上任意的 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) < f(x_2)$。
* **单调递减**：对于区间 $I$ 上任意的 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$。
#### (2) 奇偶性 (Parity)
描述函数图像的对称性。
**重要前提**：函数的定义域必须**关于原点对称**。
* **偶函数 (Even Function)**：满足 $f(-x) = f(x)$。图像关于 **$y$ 轴**对称（如 $y=x^2, y=\cos x$）。
* **奇函数 (Odd Function)**：满足 $f(-x) = -f(x)$。图像关于 **原点**对称（如 $y=x^3, y=\sin x$）。
#### (3) 周期性 (Periodicity)
如果存在非零常数 $T$，使得对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(x+T) = f(x)$ 恒成立，则称 $f(x)$ 为周期函数。满足条件的最小正数 $T$ 称为**最小正周期**。
* **常见例子**：$y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 的周期为 $2\pi$。
