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分式不等式

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适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

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教程正文

分式不等式 (Rational Inequalities)

分式不等式是CSCA考试中的易错点，其陷阱主要在于**分母不能为零**以及**盲目去分母**。形式如 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$。

1. 核心解法：等价转化法 (Equivalent Transformation)

解分式不等式的最高效方法不是分类讨论，而是将其转化为**整式不等式（组）**。

#### 转化法则 (Transformation Rules)

* **类型 1：不含等号 ($>, <$)**

利用“同号得正，异号得负”的原理：

$$\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0$$

$$\frac{f(x)}{g(x)} < 0 \iff f(x) \cdot g(x) < 0$$

**注意**：直接转化为乘积形式即可。

* **类型 2：含等号 ($\ge, \le$)**

必须额外保证**分母不为零**：

$$\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0 \iff \begin{cases} f(x) \cdot g(x) \ge 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}$$

2. 数轴标根法 (Number Line / Sign Chart Method)

对于复杂的或高次的分式不等式，使用数轴穿根法（Wavy Curve Method）更为直观。

**步骤**：

1. **找点**：求出所有**零点**（分子=0）和**瑕点**（分母=0）。

2. **标点**：在数轴上标出这些点。

* **实心点**：包含等号时的零点。

* **空心圈**：不含等号时的零点，以及**所有的瑕点（分母）**。

3. **穿线定号**：从右上方开始画波浪线（或代入测试点），确定各区间的符号。

1### 3. 致命陷阱：严禁直接乘分母

**警告**：解 $\frac{1}{x} > 1$ 时，**严禁**直接两边乘以 $x$ 变成 $1 > x$！
**原因**：$x$ 的正负未知。若 $x < 0$，不等号需要反向。直接乘会漏解或增解。
**正确做法**：移项通分。 $\frac{1}{x} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{1-x}{x} > 0$。

4. 典型例题

**例1：标准型**

解不等式 $\frac{x-1}{x+2} > 0$。

**解**：
等价于 $(x-1)(x+2) > 0$。
这是一个开口向上的抛物线，两根为 $-2, 1$。
取“两边”：$x < -2$ 或 $x > 1$。
**解集**：$(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$。

**例2：含等号与移项**

解不等式 $\frac{2x}{x-1} \le 1$。

**解**：
1. **移项通分**（不可直接乘 $x-1$）：
$$\frac{2x}{x-1} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{2x - (x-1)}{x-1} \le 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x-1} \le 0$$
2. **转化**：
$$\begin{cases} (x+1)(x-1) \le 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}$$
3. **求解**：
由 $(x+1)(x-1) \le 0$ 得 $[-1, 1]$。
由 $x \neq 1$ 排除右端点。
2> **解集**：$[-1, 1)$。

**例3：多因式定号**

解不等式 $\frac{x^2-4}{x-3} \le 0$。

**解**：
分解因式：$\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} \le 0$。
* **零点**（分子）：$x=2, x=-2$（实心，因含 $\le$）。
* **瑕点**（分母）：$x=3$（**必须空心**，分母不为0）。
* **标根**：数轴上标出 $-2, 2, 3$。
* **定号**：
* $x > 3$ 时，全正 $\rightarrow (+)$
* $2 < x < 3$ 时，分母变负 $\rightarrow (-)$
* $-2 < x < 2$ 时，分子一项变负 $\rightarrow (+)$
* $x < -2$ 时，分子两项变负 $\rightarrow (-)$
取 $\le 0$ 的部分。
**解集**：$(-\infty, -2] \cup [2, 3)$。