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分式不等式

用符号表解分式不等式：先确定定义域，再判断区间正负和端点取舍。包含三个例题、约分后的限制及常见错误。

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教程正文

分式不等式

解分式不等式时，先排除使原式分母为零的取值，再把各项移到同一侧、通分，判断所得分式与零的大小关系。不要在分母符号未知时，直接把分母乘到不等式另一边。

1. 先确定定义域

设 $f(x)$、$g(x)$ 为多项式，考虑

在 $g(x)\ne 0$ 的范围内，分式与乘积 $f(x)g(x)$ 同号。也可以把这一转化理解为：不等式两边同乘恒为正的 $g(x)^2$，不等号方向不变。

• 不含等号时，$\frac{f(x)}{g(x)}>0$ 等价于 $f(x)g(x)>0$；小于零的情况同理。
• 含等号时，必须保留分母限制。例如，$\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0$ 要同时满足 $f(x)g(x)\ge 0$ 和 $g(x)\ne 0$；小于等于零的情况同理。

这些转化不能补回原式中已排除的取值。即使分子、分母约去了公因式，原分母不为零的条件仍然有效。

2. 用符号表判断区间

1. 将分子和分母分别因式分解。
2. 在数轴上标出分子的零点，以及所有使原分母为零的取值。
3. 在各区间内选一个测试值，判断分式的正负。
4. 选出满足不等号要求的区间。只有在允许取等号、且原式有定义时，才包含分子的零点。

使分母为零的点一律不能取。有的对应竖直渐近线，有的是约分后留下的空点，不必把它们都称为“极点”。

区间符号也不一定在每个分界点两侧交替变化：偶数重因式经过零点时不变号。逐区间代入测试值，比机械套用“穿根”口诀更稳妥。

3. 为什么不能忽略分母的符号

以 $\frac{1}{x}>1$ 为例，如果不区分 $x$ 的正负就直接同乘 $x$，会遗漏“乘以负数时不等号反向”这一条件。

可以先移项通分：

分界点为 $0$ 和 $1$。分式只在两点之间为正，因此解集是 $(0,1)$。其中，$x=0$ 使原式无意义，$x=1$ 使两边相等，均不能取。

4. 例题与解析

例 1：不含等号的分式不等式

解 $\frac{x-1}{x+2}>0$。

先排除 $x=-2$。当 $x<-2$ 或 $x>1$ 时，分子、分母同号。因此，

例 2：移项后判断端点

解 $\frac{2x}{x-1}\le 1$。

先记下 $x\ne 1$，再移项通分：

当 $x=-1$ 时，分式等于零，可以取；当 $x=1$ 时，分母等于零，不能取。因此解集为 $[-1,1)$。

例 3：含多个因式的分式不等式

解 $\frac{x^2-4}{x-3}\le 0$。

先分解因式：

分界点为 $-2$、$2$、$3$。从左到右，各区间的符号依次为负、正、负、正。分子的零点 $-2$ 和 $2$ 可以取，分母的零点 $3$ 不能取：

写出答案前，再检查三件事

原分母的限制是否保留？所选区间内的符号是否正确？每个端点是否允许取到？符号表是帮助你判断这些问题的工具，不是要求符号自动交替的口诀。

延伸阅读

• Paul's Online Math Notes：分式不等式（英文）

内容审校日期：2026 年 9 月 9 日。