正态分布的基本概念

CSCA 数学「正态分布的基本概念」知识点教程，依据公开的 CSCA 考纲整理，含练习入口。

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考纲对齐

本教程依据公开的 CSCA 来华留学本科入学考试考纲整理，覆盖对应知识点。

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**正态分布**（又称高斯分布）是统计学中最重要的连续型分布，其概率密度曲线呈钟形（Bell-shaped）。记作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

* **均值 ($\mu$)**：决定曲线的**中心位置**。曲线关于 $x = \mu$ 对称。

* **标准差 ($\sigma$)**：决定曲线的**形状（胖瘦）**。$\sigma$ 越大，数据越分散，曲线越扁平；$\sigma$ 越小，数据越集中，曲线越陡峭。

### 2. “3σ”法则 (The Empirical Rule)

在正态分布中，数据落在均值附近的概率是固定的，这是CSCA考试的高频考点。需熟记以下数值：

* $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$：覆盖约 **68.3%** 的数据。

* $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$：覆盖约 **95.4%** 的数据。

* $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$：覆盖约 **99.7%** 的数据。

这意味着，几乎所有数据都在均值的 3 个标准差范围内。

为了计算任意正态分布的概率，我们需要将其转化为**标准正态分布** $N(0, 1)$。该分布均值为0，方差为1。

**转化公式 (Z-Score)**：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

* **含义**：$Z$ 值代表原始数据 $X$ 距离均值 $\mu$ 有多少个标准差。

* **应用**：一旦转化为 $Z$ 值，即可查标准正态分布表求概率。

### 典型例题

**题目**：某考试成绩服从正态分布 $N(70, 100)$（注意：此处 $100$ 是方差 $\sigma^2$，故 $\sigma=10$）。求分数在 60 到 80 分之间的概率。

**解**：

1. **标准化**：将 $X=60$ 和 $X=80$ 转化为 $Z$ 值。

$$Z_1 = \frac{60-70}{10} = -1, \quad Z_2 = \frac{80-70}{10} = 1$$

2. **利用对称性/法则**：

$$P(60 < X < 80) = P(-1 < Z < 1)$$

根据 3σ 法则，均值左右各 1 个标准差的面积约为 **68.3%**。