函数
CSCA 数学「函数」知识点教程，依据公开的 CSCA 考纲整理，含练习入口。
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考纲对齐
本教程依据公开的 CSCA 来华留学本科入学考试考纲整理，覆盖对应知识点。
适用对象
计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。
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教程正文
函数 (Functions)
1. 模块框架与学习目标
欢迎来到“函数”模块。函数是连接代数、几何与分析的桥梁，也是 CSCA 数学考试中的核心考点。本模块将帮助你掌握函数的定义、性质及其图像特征。
**学习目标：**
* 理解函数的概念（定义域、值域）。
* 掌握函数的四大性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
* 熟悉基本初等函数的图像与性质。
---
2. 核心概念：什么是函数？
**定义**：设 $A$ 和 $B$ 是两个非空实数集。如果对于集合 $A$ 中的**任意**一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有**唯一确定**的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f: A
ightarrow B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作：
$$
y = f(x), \quad x \in A
$$
其中：
* $x$ 称为**自变量 (Independent Variable)**。
* $A$ 称为**定义域 (Domain)**。
* 函数值的集合 $\{f(x) | x \in A\}$ 称为**值域 (Range)**。
> **注意：** 函数的关键在于“唯一性”。一个 $x$ 只能对应一个 $y$，但不同的 $x$ 可以对应同一个 $y$。
---
3. 函数的重要性质
在 CSCA 考试中，判断函数的性质是常见题型。
3.1 单调性 (Monotonicity)
* **单调递增 (Increasing)**：对于区间内的任意 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$。
* **单调递减 (Decreasing)**：对于区间内的任意 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$。
### 3.2 奇偶性 (Parity)
前提：定义域必须关于原点对称。
* **偶函数 (Even Function)**：满足 $f(-x) = f(x)$。图像关于 **$y$ 轴**对称（例如：$y = x^2, y = \cos x$）。
* **奇函数 (Odd Function)**：满足 $f(-x) = -f(x)$。图像关于 **原点**对称（例如：$y = x^3, y = \sin x$）。
### 3.3 周期性 (Periodicity)
如果存在非零常数 $T$，使得对于任意 $x$，都有 $f(x+T) = f(x)$，则称函数为周期函数。最小的正数 $T$ 称为**最小正周期**。
* 常见例子：$\sin x, \cos x$ 的周期是 $2\pi$。
---
4. 基本初等函数速查
掌握这些函数的图像是解题的关键。
| 函数类型 | 表达式 | 关键特征 |
| :--- | :--- | :--- |
| **幂函数** | $y = x^\alpha$ | 形态取决于 $\alpha$ 的正负和奇偶。 |
| **指数函数** | $y = a^x (a>0, a\neq 1)$ | 恒过 $(0,1)$。$a>1$ 增，$0<a<1$ 减。 |
| **对数函数** | $y = \log_a x (a>0, a\neq 1)$ | 恒过 $(1,0)$，与指数函数互为反函数。 |
