导数与微积分初步
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教程正文
导数与微积分初步 (Introduction to Derivatives)
1. 核心概念：导数的定义 (Definition)
**导数 (Derivative)** 描述了函数在某一点的变化快慢，即**瞬时变化率 (Instantaneous Rate of Change)**。
* **代数定义**：设函数 $y = f(x)$，当自变量 $x$ 产生增量 $\Delta x$ 时，函数值产生增量 $\Delta y$。若极限存在，则导数为：
$$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
* **几何意义**：$f'(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处**切线的斜率 (Slope of the Tangent Line)**。
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2. 基本求导法则 (Basic Differentiation Rules)
在 CSCA 考试中，不需要每次都用极限求导，熟记公式是关键：
1. **常数函数**：$(C)' = 0$
2. **幂函数 (Power Rule)**：$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (重要！)
3. **和差法则**：$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$
4. **常数倍**：$[cf(x)]' = c \cdot f'(x)$
* **常用基本导数**：
* $(\sin x)' = \cos x$
* $(\cos x)' = -\sin x$
* $(e^x)' = e^x$
* $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
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3. 导数的应用 (Applications)
导数是分析函数图像性状的有力工具：
1. **求切线方程**：
在点 $(x_0, y_0)$ 处的切线斜率 $k = f'(x_0)$，切线方程为：
$$ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) $$
2. **判断单调性 (Monotonicity)**：
* 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ **单调递增**。
* 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ **单调递减**。
3. **求极值 (Extrema)**：
* **驻点 (Stationary Point)**：令 $f'(x) = 0$，求出的 $x$ 是可能的极值点。
* **判定**：若 $f'(x)$ 在驻点左侧为正、右侧为负，则为**极大值**；反之为**极小值**。
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4. 典型例题
**例题 1（求切线）**：求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程。
**解**：
1. 求导函数：$y' = (x^2)' = 2x$。
2. 求斜率：当 $x=1$ 时，$k = y'|_{x=1} = 2 \times 1 = 2$。
3. 写方程：由点斜式得 $y - 1 = 2(x - 1)$，整理得 $y = 2x - 1$。
**例题 2（单调性与极值）**：分析函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调区间和极值。
**解**：
1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$。
2. 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = -1$。
3. 分析符号：
* $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$ (增)；
* $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$ (减)；
* $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$ (增)。
4. 结论：
* 单调递增区间：$(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$。
* 单调递减区间：$(-1, 1)$。
* 极大值点：$x=-1$，极小值点：$x=1$。
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5. 常见错误警示
* **导数公式记错**：常犯错误如 $(x^3)' = x^2$ (忘记乘系数 3)，或 $(\cos x)' = \sin x$ (忘记负号)。
* **切线与法线**：题目问切线 (Tangent)，别求成法线 (Normal，斜率为 $-1/k$)。
* **驻点不一定是极值点**：例如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为 0，但单调性未改变，故不是极值点。