向量与复数
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考纲对齐
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教程正文
向量与复数 (Vectors and Complex Numbers)
向量与复数是连接代数与几何的两种强大工具。在CSCA考试中，**向量**常用于解决几何中的位置、角度和距离问题，而**复数**则常考察其代数运算及几何意义（旋转与模长）。
1. 平面向量 (Plane Vectors)
向量是既有**大小 (Magnitude)** 又有**方向 (Direction)** 的量。
#### 1.1 基本运算
设 $\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)$：
* **加减法**：$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$。几何上遵循**平行四边形法则**或**三角形法则**。
* **模 (Module/Magnitude)**：$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。
#### 1.2 数量积（点积 Dot Product）—— **核心考点**
数量积的结果是一个实数（标量），用于沟通长度与角度。
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = x_1 x_2 + y_1 y_2$$
其中 $\theta$ 是两向量的夹角 $(0^\circ \le \theta \le 180^\circ)$。
**重要应用**：
1. **求夹角**：$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
2. **垂直判定**：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$
3. **平行判定**：$\vec{a} // \vec{b} \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$
2. 复数 (Complex Numbers)
复数形如 $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1$)。它可以看作平面上的点 $Z(a, b)$ 或向量 $\vec{OZ}$。
#### 2.1 几何意义与模
* **复平面 (Complex Plane)**：$x$ 轴为实轴 (Real Axis)，$y$ 轴为虚轴 (Imaginary Axis)。
* **模 (Modulus)**：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，表示点到原点的距离。
* **共轭复数 (Conjugate)**：$\bar{z} = a - bi$，点 $(a, -b)$ 关于实轴对称。
#### 2.2 运算与几何变换
* **四则运算**：遵循代数法则，注意 $i^2 = -1$。
* 除法技巧：分母实数化（分子分母同乘分母的共轭）。
* **旋转意义**：
* 乘以 $i$：逆时针旋转 $90^\circ$。
* 乘以 $-1$：旋转 $180^\circ$（中心对称）。
3. 实战演练
**例题 1**：已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (-3, k)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，求 $k$。
**解**：
因为垂直，所以 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
$1 \times (-3) + 2 \times k = 0 \Rightarrow -3 + 2k = 0 \Rightarrow k = 1.5$。
**例题 2**：若复数 $z = \frac{2i}{1-i}$，求 $|z|$。
**解**：
化简：$z = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$。
模长：$|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
4. 备考提示
* **向量**：遇到“垂直”马上想“点积为0”；遇到“平行”马上想“坐标交叉相乘相等”。
* **复数**：熟练掌握复数除法的分母有理化；理解 $|z_1 - z_2|$ 表示两点间距离。