等比数列通项公式及求和
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教程正文
等比数列 (Geometric Sequences)
1. 核心概念 (Core Concepts)
**定义**：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的**比**等于同一个常数，这个数列就叫做**等比数列**。这个常数叫做**公比 (Common Ratio)**，通常用 $q$ 表示 ($q \neq 0$)。
**数学表达**：
$$\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = q \quad (n \ge 2)$$
**函数视角**：
等比数列的通项 $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ 可以看作是指数函数 $y = c \cdot a^x$ 在自然数集上的离散点。
* 当 $q > 1$ 时，数列表现为爆炸式增长（如 $2, 4, 8, ...$）。
* 当 $0 < q < 1$ 时，数列表现为指数式衰减（如 $1, 0.5, 0.25, ...$）。
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2. 核心公式 (Key Formulas)
#### (1) 通项公式 (General Term)
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
* **推广公式**：$a_n = a_m \cdot q^{n-m}$ （已知第 $m$ 项求第 $n$ 项）
#### (2) 前 n 项和公式 (Summation)
记 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$。
* **当 $q = 1$ 时**（常数列）：
$$S_n = n a_1$$
* **当 $q \neq 1$ 时**：
$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$
**推导思维（错位相减法）**：
这是推导等比求和的核心方法：写出 $S_n$，再写出 $qS_n$，两式相减，中间项全部抵消，只剩首尾。
#### (3) 无穷递缩等比数列求和 (Infinite Geometric Series)
当 $|q| < 1$ 时，随着 $n \to \infty$，项 $a_n$ 趋近于 0，总和 $S_n$ 趋近于一个定值：
$$S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q}$$
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3. 重要性质 (Key Properties)
1. **等比中项**：若 $a, b, c$ 成等比数列，则 $b^2 = ac$（注意：若 $b$ 是等比中项，则 $b = \pm\sqrt{ac}$，符号由 $q$ 决定）。
2. **下标积性质**：若 $m + n = p + k$，则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_k$。
* 例如：$a_1 \cdot a_6 = a_2 \cdot a_5 = a_3 \cdot a_4$。
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4. 典型例题
**例题 1：求通项**
已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 = 6, a_5 = 48$，求 $a_8$。
**解**：
利用推广公式：$a_5 = a_2 \cdot q^{5-2}$。
$48 = 6 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$。
再求 $a_8$：$a_8 = a_5 \cdot q^{8-5} = 48 \times 2^3 = 384$。
**例题 2：无穷求和应用**
求和：$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$。
**解**：
这里 $a_1 = 1/2$，公比 $q = 1/2$。
因为 $|q| < 1$，使用无穷求和公式：
$S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$。
（这也解释了为什么把正方形无限分割，总面积还是 1）
**例题 3：性质应用**
已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 a_{11} = 20$，求 $a_4 a_8$。
**解**：
利用下标积性质：因为 $1+11 = 12$ 且 $4+8=12$，
所以 $a_4 a_8 = a_1 a_{11} = 20$。
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5. 常见错误警示
* **忽略 $q=1$**：使用求和公式前，必须先确认 $q$ 是否可能为 1。若含参数，需分类讨论。
* **公比的符号**：若 $a_n$ 符号交替出现（正、负、正...），则公比 $q < 0$。
* **求公比开方**：解 $q^2 = 4$ 时，要考虑 $q = \pm 2$，除非题目暗示各项均为正数。