集合的运算
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教程正文
集合的运算 (Operations on Sets)
集合的运算是CSCA考试中必考的基础题型。掌握**并集**、**交集**、**补集**的定义及其在韦恩图 (Venn Diagram) 和数轴上的表示是解题关键。
1. 三大基本运算
设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，全集为 $U$。
#### (1) 并集 (Union)
* **定义**：由属于 $A$ **或** 属于 $B$ 的所有元素组成的集合。
* **符号**：$A \cup B$
* **记忆口诀**：“$A$ 加上 $B$，重复的只算一次”。
* **韦恩图**：
#### (2) 交集 (Intersection)
* **定义**：由**既**属于 $A$ **又**属于 $B$ 的所有元素组成的集合。
* **符号**：$A \cap B$
* **记忆口诀**：“$A$ 和 $B$ 的公共部分”。若 $A \cap B = \varnothing$，称两集合**互不相交 (Disjoint)**。
* **韦恩图**：
#### (3) 补集 (Complement)
* **定义**：全集 $U$ 中不属于 $A$ 的元素组成的集合。
* **符号**：$\complement_U A$ (中国教材常用) 或 $A^c$。
* **记忆口诀**：“$U$ 中扣掉 $A$，剩下的就是补集”。
* **韦恩图**：
### 2. 重要运算律 (Laws of Operations)
CSCA考试常用以下定律简化集合化简题：
* **交换律**：$A \cup B = B \cup A$, $A \cap B = B \cap A$
* **分配律**：
* $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
* $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
* **德·摩根定律 (De Morgan's Laws) ★重点**：
* $\complement_U (A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$ （并集的补集 = 补集的交集）
* $\complement_U (A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$ （交集的补集 = 补集的并集）
3. 典型例题 (Examples)
**例1：区间运算 (Interval Operations)**
设集合 $A = \{x | -2 \le x < 3\}$， $B = \{x | 1 < x \le 5\}$。求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$。
**解题技巧**：画数轴！
> * **并集 ($A \cup B$)**：取覆盖的总范围。左端点是 $-2$，右端点是 $5$。$\Rightarrow [-2, 5]$
* **交集 ($A \cap B$)**：取双线重叠部分。重叠从 $1$ (不含) 到 $3$ (不含)。$\Rightarrow (1, 3)$
**例2：离散集合运算**
已知 $U = \{1,2,3,4,5,6\}$，$A = \{1, 4\}$，$B = \{1, 3, 5\}$。求 $\complement_U (A \cup B)$。
**解**：
1. 先求并集：$A \cup B = \{1, 3, 4, 5\}$
2. 再求补集：在 $U$ 中去掉 $\{1, 3, 4, 5\}$，剩下 $\{2, 6\}$。
故 $\complement_U (A \cup B) = \{2, 6\}$。