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对数函数

掌握对数函数的定义域、单调性与换底公式，通过精确数值表和三个例题，检查真数、底数及运算法则的适用条件。

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教程正文

对数函数

对数求的是指数。例如，$\log_2 8=3$，是因为 $2^3=8$。利用这一关系，可以在对数式与指数式之间转换：

讨论实数范围内的对数时，底数必须满足 $a>0$ 且 $a\ne1$，真数必须大于 $0$。本文用 $\lg x$ 表示 $\log_{10}x$，用 $\ln x$ 表示 $\log_e x$。

1. 图像与基本性质

函数 $y=\log_a x$ 的定义域是 $(0,+\infty)$，值域是 $\mathbb{R}$。因为 $a^0=1$、$a^1=a$，图像经过 $(1,0)$ 和 $(a,1)$。直线 $x=0$ 是它的竖直渐近线，图像与 $y$ 轴没有交点。

单调性由底数决定：

• 当 $a>1$ 时，函数单调递增。
• 当 $0<a<1$ 时，函数单调递减。

下面这组精确数值可以帮助理解两种情况。

当 $a>1$ 时，$x\to0^+$ 对应 $\log_a x\to-\infty$，$x\to+\infty$ 对应 $\log_a x\to+\infty$。当 $0<a<1$ 时，这两个极限的方向相反。

$y=\log_a x$ 与 $y=a^x$ 互为反函数，图像关于直线 $y=x$ 对称：一个图像上的点 $(u,v)$，对应另一个图像上的点 $(v,u)$。

以上性质针对基本函数 $y=\log_a x$。遇到复合表达式时，要检查整个真数。例如，$\log_a(x-2)$ 的定义域是 $x>2$，竖直渐近线是 $x=2$，不能直接照搬 $x>0$。

2. 对数运算法则

当 $M>0$、$N>0$、$a>0$、$a\ne1$，且 $r$ 为实数时，

使用法则时不能忽略真数条件。例如，$\log_a(x^2)$ 在 $x\ne0$ 时就有意义，而 $2\log_a x$ 要求 $x>0$。对所有非零实数 $x$ 都成立的写法是

对数没有把“和”拆成“对数之和”的通用法则。取 $M=N=1$，则 $\log_a(M+N)=\log_a2$，但 $\log_a M+\log_a N=0$，两者不同。

3. 换底公式

需要统一底数时，可以使用

由此可以得到两个常用关系：

其中 $a,b$ 都是合法底数，且 $c>0$；以及

其中 $a>0$、$a\ne1$、$b>0$，$m,n$ 为实数，且 $n\ne0$。不能漏掉最后这个条件，否则 $a^n=1$，就不能作为对数的底数。

4. 例题

例 1：比较同底对数的大小

分别比较 $\log_2 3$ 与 $\log_2 5$，以及 $\log_{0.5}3$ 与 $\log_{0.5}5$。

底数 $2>1$，函数 $\log_2 x$ 单调递增，所以

底数满足 $0<0.5<1$，函数 $\log_{0.5}x$ 单调递减，所以

同底比较时，应先判断增减性，再确定不等号方向。

例 2：利用换底公式化简

计算

分别换成以 $2$ 和 $3$ 为底：

再利用 $\log_2 3\;\log_3 2=1$，得到

例 3：底数含未知数时求定义域

求 $y=\log_{2x-1}(3-x)$ 的定义域。

同时列出三个条件：

解得 $x>\frac12$、$x\ne1$、$x<3$。取交集，得到

如果只检查真数，就会漏掉底数大于 $0$、不等于 $1$ 这两个要求。

5. 检查要点

定义域应以原表达式为准，不能因为化简而补回原本不允许的取值。解对数不等式时，如果固定底数在 $0$ 与 $1$ 之间，利用单调性比较真数会改变不等号方向。

参考资料

• OpenStax：对数函数的图像
• OpenStax：对数的性质

内容审校日期：2026 年 9 月 9 日。