对数函数

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考纲对齐

本教程依据公开的 CSCA 来华留学本科入学考试考纲整理，覆盖对应知识点。

适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

教程正文

对数函数 (Logarithmic Functions)

1. 核心概念 (Core Concepts)

**对数函数**是指数函数的**反函数**。定义的关键在于“底数”和“真数”的限制。

* **定义**：函数 $y = \log_a x$ ($a>0, a\neq 1$) 叫做对数函数。

* $x$ 叫做**真数 (Argument)**，定义域为 $(0, +\infty)$。

* $a$ 叫做**底数 (Base)**。

* **反函数关系**：$y = \log_a x \iff x = a^y$。

**两种特殊对数**：

1. **常用对数 (Common Logarithm)**：底数为 10，记作 $\lg x$ (即 $\log_{10} x$)。

2. **自然对数 (Natural Logarithm)**：底数为 $e$ ($e \approx 2.718...$)，记作 $\ln x$ (即 $\log_e x$)。

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2. 图像与性质 (Graphs and Properties)

对数函数的图像始终在 y 轴右侧，且有一条垂直渐近线 (Vertical Asymptote) $x=0$ (即 y 轴)。其性状取决于底数 $a$。

| 特性 | **$a > 1$ (如 $y=\log_2 x$)** | **$0 < a < 1$ (如 $y=\log_{0.5} x$)** |

| :--- | :--- | :--- |

| **图像走势** | 撇捺上升 (Rising) | 撇捺下降 (Falling) |

| **单调性** | 在 $(0, +\infty)$ 上**单调递增** | 在 $(0, +\infty)$ 上**单调递减** |

| **定点** | 恒过 $(1, 0)$ | 恒过 $(1, 0)$ |

| **值域** | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |

| **函数值分布** | $x>1$ 时 $y>0$；$0<x<1$ 时 $y<0$ | $x>1$ 时 $y<0$；$0<x<1$ 时 $y>0$ |

**对称性**：

对数函数 $y=\log_a x$ 与同底的指数函数 $y=a^x$ 的图像关于直线 **$y=x$** 对称。

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3. 核心运算法则 (Operational Rules)

设 $a>0, a\neq 1, M>0, N>0$。

**基本公式**：

1. **积变和**：$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$

2. **商变差**：$\log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$

3. **幂提前**：$\log_a M^n = n \log_a M$ ($n \in \mathbb{R}$)

**高级公式 (CSCA 重点)**：

4. **换底公式**：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a}$

5. **广义幂法则**：$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$ (底数的指数变分母，真数的指数变分子)

6. **链式法则**：$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

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4. 典型例题

**例题 1：比较大小 (利用单调性)**

比较大小：(1) $\log_2 3$ 与 $\log_2 5$； (2) $\log_{0.5} 3$ 与 $\log_{0.5} 5$。

**解**：

(1) 底数 $2 > 1$，函数单调递增。因为 $3 < 5$，所以 $\log_2 3 < \log_2 5$。

(2) 底数 $0.5 < 1$，函数单调递减。因为 $3 < 5$，所以方向相反，即 $\log_{0.5} 3 > \log_{0.5} 5$。

**例题 2：对数运算技巧**

计算 $(\log_4 3 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 2)$。

**解**：利用公式 $\log_{a^n} b = \frac{1}{n}\log_a b$ 化简底数。

第一部分：$\log_4 3 + \log_8 3 = \log_{2^2} 3 + \log_{2^3} 3 = \frac{1}{2}\log_2 3 + \frac{1}{3}\log_2 3 = \frac{5}{6}\log_2 3$。

第二部分：$\log_3 2 + \log_9 2 = \log_3 2 + \log_{3^2} 2 = \log_3 2 + \frac{1}{2}\log_3 2 = \frac{3}{2}\log_3 2$。

相乘：$(\frac{5}{6}\log_2 3) \cdot (\frac{3}{2}\log_3 2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$。

因为 $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$，所以原式 $= \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$。

**例题 3：复合函数定义域**

求 $f(x) = \log_{(2x-1)}(3-x)$ 的定义域。

**解**：

需同时满足三个条件：

1. 真数 $> 0 \Rightarrow 3-x > 0 \Rightarrow x < 3$

2. 底数 $> 0 \Rightarrow 2x-1 > 0 \Rightarrow x > 1/2$

3. 底数 $\neq 1 \Rightarrow 2x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$

取交集得：$(\frac{1}{2}, 1) \cup (1, 3)$。

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5. 常见错误警示

* **公式臆造**：$\log_a (M+N) \neq \log_a M + \log_a N$。对数没有“和变和”的公式，只有“积变和”。

* **定义域陷阱**：求定义域时，千万别忘了**底数 $\neq 1$** 这一条件。

* **换底混淆**：$\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}$，注意是“真数在上，底数在下”，不要写反。

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