空间几何
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考纲对齐
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适用对象
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教程正文
空间几何 (Spatial Geometry)
空间几何将数学研究从二维平面扩展到了三维空间。在CSCA考试中，重点考察**空间直角坐标系**的基本计算（距离、中点）、**立体图形**（柱、锥、球）的体积与表面积公式，以及简单的**球的方程**。
1. 空间直角坐标系 (Spatial Rectangular Coordinate System)
为了确定空间中点的位置，我们建立由三条两两垂直的数轴（$x$轴、$y$轴、$z$轴）组成的坐标系。原点为 $O$。
* **点 P 的坐标**：$(x, y, z)$。
* **基本公式**：
设 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$。
1. **距离公式**：空间中两点间的距离是平面距离公式的推广。
$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
2. **中点公式**：线段 $AB$ 中点 $M$ 的坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$。
### 2. 常见立体图形与公式 (Solids and Formulas)
这是计算题的高频考点，请务必熟记体积 ($V$) 和表面积 ($S$) 公式。
| 类型 | 图形 | 体积公式 ($V$) | 侧面积/表面积 ($S$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **柱体** (Prism/Cylinder) | 圆柱、棱柱 | $$V = S_{\text{底}} \cdot h$$ | $S_{\text{圆柱侧}} = 2\pi rh$ |
| **锥体** (Pyramid/Cone) | 圆锥、棱锥 | $$V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$$ | $S_{\text{圆锥侧}} = \pi rl$ ($l$为母线) |
| **球体** (Sphere) | 球 | $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$ | $$S = 4\pi R^2$$ |
### 3. 球的方程 (Equation of a Sphere)
空间中到定点（球心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
* **标准方程**：
设球心为 $(a, b, c)$，半径为 $R$，则：
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$$
* **特例**：球心在原点 $(0,0,0)$ 时，方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$。
4. 空间向量基础 (Spatial Vectors)
空间向量 $\vec{a} = (x, y, z)$ 的运算与平面向量完全类比：
* **模长**：$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
* **加减**：对应坐标相加减。
* **点积**：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
* **垂直判定**：$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
5. 实战演练
**例题 1**：求点 $A(1, 2, 3)$ 到原点 $O$ 的距离。
**解**：$|AO| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$。
**例题 2**：已知球心在 $(1, -2, 0)$，半径为 3，求球的方程。判断点 $P(3, 0, 1)$ 是否在球上。
**解**：
方程为：$(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 9$。
将 $P(3, 0, 1)$ 代入左边：$(3-1)^2 + (0+2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$。
因为 $9 = 9$，所以点 $P$ 在球上。
**例题 3**：一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，求其体积。
**解**：
底面积 $S_{\text{底}} = \pi r^2 = 9\pi$。
体积 $V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} h = \frac{1}{3} \cdot 9\pi \cdot 4 = 12\pi$。