三角函数
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考纲对齐
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适用对象
计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。
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教程正文
三角函数 (Trigonometric Functions)
1. 核心概念 (Core Concepts)
**三角函数**描述了角度与直角三角形边长比值、以及单位圆上点的坐标之间的关系。CSCA 考试重点考察正弦 ($\sin$)、余弦 ($\cos$) 和正切 ($\tan$)。
**单位圆定义**：
在直角坐标系中，设 $P(x, y)$ 是单位圆上一点，$\alpha$ 是以 x 轴正半轴为始边的旋转角。则：
* $\sin \alpha = y$ (纵坐标)
* $\cos \alpha = x$ (横坐标)
* $\tan \alpha = \frac{y}{x}$ (斜率，x≠0)
**弧度制 (Radian Measure)**：
在高等数学中，自变量 $x$ 默认使用弧度。$180^{\circ} = \pi \text{ rad}$。
---
2. 图像与性质 (Graphs and Properties)
| 函数 (Function) | $y=\sin x$ | $y=\cos x$ | $y=\tan x$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **定义域 (Domain)** | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\{x \mid x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\}$ |
| **值域 (Range)** | $[-1, 1]$ | $[-1, 1]$ | $\mathbb{R}$ |
| **周期 (Period)** | $2\pi$ | $2\pi$ | $\pi$ |
| **奇偶性 (Parity)** | **奇函数 (Odd)** | **偶函数 (Even)** | **奇函数 (Odd)** |
| **图像特征** | 过原点 (0,0) | 过点 (0,1) | 有无数垂直渐近线 |
---
3. 核心公式 (Key Formulas)
#### (1) 同角关系 (Fundamental Identities)
* $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
* $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
#### (2) 诱导公式 (Reduction Formulas)
**口诀**：**奇变偶不变，符号看象限** (Odd changes, Even stays; Sign depends on quadrant)。
* 处理 $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$：
* $k$ 为奇数 $\Rightarrow \sin \leftrightarrow \cos$
* $k$ 为偶数 $\Rightarrow$ 函数名不变
* 符号：假设 $\alpha$ 为锐角，看原角所在象限的原函数符号。
#### (3) 和差与倍角公式 (Sum/Difference & Double Angle)
* $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
* $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ (注意符号相反)
* $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
* $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
---
4. 典型例题
**例题 1：求周期与值域**
求 $f(x) = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$ 的最小正周期和最大值。
**解**：
* **周期**：$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$。
* **最值**：因为 $-1 \le \sin(\cdot) \le 1$，所以 $2(-1)+1 \le f(x) \le 2(1)+1$。
即最大值为 3，最小值为 -1。
**例题 2：诱导公式化简**
化简 $\cos(\pi + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$。
**解**：
* $\cos(\pi + \alpha)$：$k=2$ (偶) 不变名，第 3 象限 $\cos$ 为负 $\Rightarrow -\cos\alpha$。
* $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$：$k=1$ (奇) 变名，第 2 象限 $\sin$ 为正 $\Rightarrow +\cos\alpha$。
* 原式 $= -\cos\alpha + \cos\alpha = 0$。
**例题 3：解三角方程**
解方程 $\cos 2x = \cos x$， $x \in [0, 2\pi)$。
**解**：
利用倍角公式：$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \Rightarrow (2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$
$\therefore \cos x = -\frac{1}{2}$ 或 $\cos x = 1$。
在 $[0, 2\pi)$ 内：
* $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$
* $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$
解集为 $\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\}$。
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5. 常见错误警示
* **$\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$**：这是最严重的线性错误。
* **符号错误**：$\cos(\alpha - \beta)$ 展开是加号 $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$。
* **漏解**：解 $\sin x = a$ 时，注意一个周期内通常有两个解（除非 $a = \pm 1$）。