CSCA · Toán · Kiến thức và ví dụ

Bất phương trình bậc hai: xét dấu và chọn khoảng nghiệm

Giải bất phương trình bậc hai bằng bảng xét dấu: xét biệt thức, chiều mở của parabol và dấu bằng, kèm ví dụ và bài tự kiểm tra.

Cập nhật nội dung: 14/09/2026 · Tài liệu ôn tập độc lập, không phải ấn phẩm chính thức của đơn vị tổ chức CSCA.

Đừng chỉ tìm nghiệm của phương trình

Với phương trình $x^2-5x+6=0$, câu trả lời là hai giá trị $2$ và $3$. Nhưng bất phương trình $x^2-5x+6>0$ hỏi một việc khác: những giá trị nào của $x$ làm biểu thức dương? Hai nghiệm chỉ là các mốc để chia trục số.

Đặt $f(x)=ax^2+bx+c$, với $a\ne0$. Khi giải bài, hãy đi theo thứ tự: đưa một vế về $0$, tìm nghiệm, xét dấu, rồi kiểm tra có lấy các đầu mút hay không.

Đọc dấu của tam thức

Tính $\Delta=b^2-4ac$. Nếu $\Delta>0$, gọi hai nghiệm là $x_1<x_2$. Khi đó $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Bạn có thể nhớ “ngoài cùng dấu với $a$, trong trái dấu với $a$”, nhưng quy tắc này cần hai nghiệm phân biệt. Nếu dùng hình vẽ, dấu dương ứng với phần parabol nằm trên trục hoành; dấu âm ứng với phần nằm dưới.

• Khi $\Delta=0$, $f(x)=a(x-r)^2$. Biểu thức cùng dấu với $a$ ở mọi điểm trừ $x=r$, nơi nó bằng $0$.
• Khi $\Delta<0$, tam thức luôn cùng dấu với $a$ trên $\mathbb R$. Phương trình không có nghiệm thực không có nghĩa bất phương trình cũng vô nghiệm.

Ví dụ 1: Vì sao phải lấy hai khoảng ngoài?

Giải $x^2-5x+6>0$.

Hệ số của $x^2$ dương, nên biểu thức dương khi $x<2$ hoặc $x>3$. Dấu $>$ không cho phép lấy $2$ và $3$:

Thử $x=0$: biểu thức bằng $6>0$, phù hợp với khoảng ngoài. Thử $x=2.5$: hai thừa số trái dấu, nên không thuộc tập nghiệm. Nếu đề đổi thành $\ge0$, hai đầu mút phải được lấy thêm.

Ví dụ 2: Đổi dấu có thể làm bài gọn hơn

Giải $-2x^2+4x-3\ge0$. Nhân cả hai vế với $-1$ và đổi chiều bất phương trình:

Vế trái bằng $2(x-1)^2+1$, luôn dương. Vì vậy không có $x$ nào thỏa mãn; $S=\varnothing$. Cách hoàn thành bình phương cho thấy ngay lý do, không cần phác đồ thị.

Ví dụ 3: Nghiệm kép không tạo hai khoảng đổi dấu

Giải $x^2-4x+4\le0$. Ta có $(x-2)^2\le0$. Bình phương không âm, nên chỉ có thể bằng $0$ tại $x=2$:

Nếu dấu là $<0$, tập nghiệm rỗng. Nếu dấu là $\ge0$, mọi số thực đều thỏa mãn.

Tự kiểm tra trước khi chuyển bài

Giải $x^2-x-2\le0$ rồi tự giải thích vì sao lấy hai đầu mút. Phân tích $(x-2)(x+1)$ cho nghiệm $-1$ và $2$, nên đáp án là $[-1,2]$.

Khi bài chứa phân thức hoặc logarit, phải giữ điều kiện của biểu thức ban đầu. Nếu hệ số $a$ phụ thuộc tham số và có thể bằng $0$, hãy tách riêng trường hợp bậc nhất; không áp dụng máy móc bảng dấu bậc hai.

Đọc thêm

OpenStax: giải bất phương trình bậc hai trình bày cả cách dùng đồ thị và xét dấu. Các bài trên là ví dụ học tập của AICSCA, không phải tuyên bố về câu hỏi hay tần suất xuất hiện trong đề CSCA chính thức.