CSCA · Toán · Kiến thức và ví dụ

Hàm số lôgarit: điều kiện, tính đơn điệu và công thức

Đọc hàm số lôgarit từ cơ số và đối số; tìm tập xác định, so sánh giá trị và dùng công thức đúng điều kiện qua các ví dụ có lời giải.

Cập nhật nội dung: 14/09/2026 · Tài liệu ôn tập độc lập, không phải ấn phẩm chính thức của đơn vị tổ chức CSCA.

Logarit trả lời câu hỏi về số mũ

Vì $2^3=8$ , ta viết $\log_2 8=3$ . Nói cách khác, $\log_a x$ là số mũ cần đặt vào cơ số $a$ để được $x$ :

y=\log_a x\quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x.

Trong phạm vi số thực, luôn kiểm tra $a>0$ , $a\ne1$ và $x>0$ . Trong bài này, $\lg x=\log_{10}x$ và $\ln x=\log_e x$ .

Hàm số $y=\log_a x$ có tập xác định $(0,+\infty)$ , tập giá trị $\mathbb R$ , đi qua $(1,0)$ và có tiệm cận đứng $x=0$ . Đồ thị không cắt trục tung.

Cơ số	Chiều biến thiên	Khi tăng đối số từ $3$ lên $5$
$a>1$	Đồng biến	Giá trị logarit tăng
$0<a<1$	Nghịch biến	Giá trị logarit giảm

Do đó $\log_2 3<\log_2 5$ , nhưng $\log_{0.5}3>\log_{0.5}5$ . Không thể quyết định chiều so sánh chỉ bằng cách nhìn $3<5$ mà bỏ qua cơ số.

Với $y=\log_a(x-2)$ , điều kiện là $x>2$ và tiệm cận đứng chuyển thành $x=2$ . Hãy xét toàn bộ đối số, không chỉ biến $x$ .

Với $M,N>0$ , $a>0$ , $a\ne1$ và $r\in\mathbb R$ :

\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,

\log_a\frac MN=\log_a M-\log_a N, \qquad \log_a(M^r)=r\log_a M.

Quy tắc đầu tiên dùng cho tích, không dùng cho tổng. Chẳng hạn $\log_2(1+1)=1$ , còn $\log_2 1+\log_2 1=0$ .

Một bẫy khác là viết $\log_a(x^2)=2\log_a x$ rồi làm mất các giá trị $x<0$ . Biểu thức đúng trên toàn bộ miền $x\ne0$ là $\log_a(x^2)=2\log_a|x|$ .

Tìm tập xác định của $y=\log_{2x-1}(3-x)$ . Cần đồng thời:

2x-1>0,\qquad 2x-1\ne1,\qquad 3-x>0.

Suy ra $x>\tfrac12$ , $x\ne1$ và $x<3$ . Vậy

D=\left(\tfrac12,1\right)\cup(1,3).

Chỉ kiểm tra $3-x>0$ sẽ bỏ sót cả hai điều kiện của cơ số.

Tính $(\log_4 3+\log_8 3)(\log_3 2+\log_9 2)$ . Dùng $\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ với các cơ số hợp lệ:

\log_4 3+\log_8 3=\left(\frac12+\frac13\right)\log_2 3 =\frac56\log_2 3,

\log_3 2+\log_9 2=\left(1+\frac12\right)\log_3 2 =\frac32\log_3 2.

Vì $\log_2 3\cdot\log_3 2=1$ , kết quả là $\frac56\cdot\frac32=\frac54$ . Không cần bấm máy tính từng logarit rồi làm tròn sớm.

Giải $\log_{1/2}x>1$ . Trước hết $x>0$ . Vì cơ số nằm giữa $0$ và $1$ , hàm nghịch biến; so với $\log_{1/2}(1/2)=1$ ta được $0<x<\tfrac12$ .

Trước khi nộp bài, hãy kiểm tra ba điều: cơ số hợp lệ, đối số dương và chiều bất đẳng thức có đúng với tính đơn điệu hay không.

OpenStax: tính chất logarit giải thích điều kiện của các quy tắc biến đổi và đổi cơ số.