库仑定律

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考纲对齐

本教程依据公开的 CSCA 来华留学本科入学考试考纲整理，覆盖对应知识点。

适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

教程正文

知识点：电磁学 > 静电场 > 库仑定律

1. 核心定义

**库仑定律 (Coulomb's Law)** 是静电学的基石。它定量描述了**真空中**两个**静止点电荷**之间的相互作用力（称为静电力或库仑力）。

* **适用条件**：

1. **真空**（空气中近似成立）。

2. **点电荷**：带电体形状和大小对相互作用影响可忽略（即 $r \gg$ 几何尺寸）。

3. **静止**。

---

2. 核心公式

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

| 符号 | 含义 | 单位 | 备注 |

| :---: | :--- | :---: | :--- |

| $F$ | 静电力大小 | $N$ | 符合牛顿第三定律（作用力与反作用力） |

| $q$ | 电荷量 | $C$ | **计算大小时必须取绝对值** |

| $r$ | 距离 | $m$ | **电荷中心**之间的距离 |

| $k$ | 静电力常量 | - | $k \approx 9.0 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ |

**CSCA 备考警示**：

1. **单位陷阱**：题目常用微库 ($\|mu C$) 或厘米 ($cm$)。计算前**必须**换算为 $C$ ($1\|mu C = 10^{-6}C$) 和 $m$。

2. **绝对值**：公式仅计算大小。方向请根据电荷正负单独判断。

---

3. 力的方向判定

遵循 **“同性相斥，异性相吸”** 原则，力沿连线方向。

* **斥力 (Repulsion)**：$++$ 或 $--$

* **引力 (Attraction)**：$+-$ 或 $-+$

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4. 解题核心方法：力的合成

当一个电荷受到多个电荷作用时，需遵循**力的矢量合成法则**（平行四边形定则）。

**标准步骤：**

1. **受力分析**：确定研究对象，画出受力示意图。

2. **分步计算**：利用公式 $F = k|q_1 q_2|/r^2$ 计算每个分力的大小。

3. **判断方向**：在图中标注每个分力的方向。

4. **矢量合成**：

* **共线**：代数加减（同向相加，反向相减）。

* **不共线**：利用几何关系（如勾股定理、三角函数）或正交分解法求解合力。

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5. 典型例题

**例题 1：基础计算（共线叠加）**

**题目**：真空中三个点电荷固定在 $x$ 轴上。$q_A = +2.0 \times 10^{-9}C$ 在 $x=0$， $q_B = -3.0 \times 10^{-9}C$ 在 $x=0.1m$， $q_C = +4.0 \times 10^{-9}C$ 在 $x=0.2m$。求 $q_B$ 所受的合力。

**解**：

1. **分析 $q_B$ 受力**：

* $A$ 对 $B$（异性相吸）：$F_{AB}$ 指向 $A$（向左）。

* $C$ 对 $B$（异性相吸）：$F_{CB}$ 指向 $C$（向右）。

2. **计算大小**：

$$F_{AB} = k\frac{|q_A q_B|}{r_{AB}^2} = 9\times10^9 \frac{2\times10^{-9} \times 3\times10^{-9}}{(0.1)^2} = 5.4 \times 10^{-6} N$$

$$F_{CB} = k\frac{|q_C q_B|}{r_{BC}^2} = 9\times10^9 \frac{4\times10^{-9} \times 3\times10^{-9}}{(0.1)^2} = 1.08 \times 10^{-5} N$$

3. **合成**：

规定向右为正方向。

$$F_{net} = F_{CB} - F_{AB} = 1.08\times10^{-5} - 0.54\times10^{-5} = 5.4 \times 10^{-6} N$$

方向：**水平向右**。

**例题 2：矢量特性（牛顿第三定律）**

**题目**：电荷 $A$ 的电量是 $B$ 的 3 倍 ($q_A = 3q_B$)。$A$ 对 $B$ 的作用力大小为 $F_1$， $B$ 对 $A$ 的作用力大小为 $F_2$。比较 $F_1$ 和 $F_2$。

**解**：根据牛顿第三定律（作用力与反作用力），**$F_1$ 始终等于 $F_2$**。与电量大小无关。

**例题 3：不共线合成（直角三角形模型）**

**题目**：真空中，$q_1=+Q$ 位于 $(0, a)$，$q_2=+Q$ 位于 $(a, 0)$，求原点 $O(0,0)$ 处点电荷 $-q$ 所受合力的大小。

**解**：

1. $q_1$ 对 $-q$ 为引力，沿 $y$ 轴向上，大小 $F_1 = kQq/a^2$。

2. $q_2$ 对 $-q$ 为引力，沿 $x$ 轴向右，大小 $F_2 = kQq/a^2$。

3. $F_1$ 与 $F_2$ 垂直，合力 $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_1 = \sqrt{2} k \frac{Qq}{a^2}$。

方向：沿 $45^\circ$ 方向（指向第一象限角平分线）。

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