位移
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教程正文
位移 (Displacement)
1. 核心概念：位移 vs 路程
这是运动学中最基础但也最容易混淆的概念。请务必区分“位置的变化”与“实际走过的路”。
| 维度 | 位移 (Displacement, $\vec{s}$ 或 $\vec{x}$) | 路程 (Distance / Path Length, $d$) |
| :--- | :--- | :--- |
| **定义** | 从**初位置**指向**末位置**的有向线段 | 物体实际运动**轨迹的长度** |
| **性质** | **矢量 (Vector)**：既有大小，又有方向 | **标量 (Scalar)**：只有大小，没有方向 |
| **正负号** | 表示方向（在直线运动中） | 永远为正（非负） |
| **关系** | 大小取决于初末位置，与路径无关 | 取决于具体的运动路径 |
| **公式联系** | $|\text{位移}| \le \text{路程}$ | 仅在**单向直线运动**中，两者大小相等 |
**⚠️ CSCA 备考警示**：
如果题目中出现“折返”（例如：竖直上抛又落下、汽车刹车后倒车），**路程一定大于位移的大小**。计算路程时必须分段计算，而计算位移只需关注起点和终点。
2. 位移的表达与计算
#### A. 一维直线运动
在直线坐标系中，位移直接由坐标差计算，**正负号代表方向**。
$$ \Delta x = x_{\text{final}} - x_{\text{initial}} $$
* $\Delta x > 0$：表示位移方向指向正方向。
* $\Delta x < 0$：表示位移方向指向负方向。
#### B. 二维平面运动
在二维平面中，位移是矢量合成的结果。通常利用勾股定理（Pythagorean theorem）和三角函数求解。
设初位置 $A(x_1, y_1)$，末位置 $B(x_2, y_2)$：
* **矢量表示**：$\vec{s} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j}$
* **大小（模）**：$$ |\vec{s}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
* **方向**：设与x轴夹角为 $\theta$，则 $\tan \theta = \frac{\Delta y}{\Delta x}$（需结合象限判断角度）。
3. 典型例题精讲
**例题 1：直线运动中的“折返陷阱”**
一个质点沿 x 轴运动，位置函数为 $x(t) = 2t^2 - 4t + 1$ (m)。求 $t=0$ 到 $t=3\text{s}$ 期间的 (1) 位移，(2) 路程。
**解题思路**：
1. **位移**只看头尾。
2. **路程**必须找“拐点”（速度 $v=0$ 的时刻）。
**解答**：
(1) **位移**：
$$x(0) = 1\text{m}, \quad x(3) = 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 7\text{m}$$
$$\Delta x = x(3) - x(0) = 7 - 1 = +6\text{m} \quad (\text{方向沿x轴正向})$$
(2) **路程**：
先求速度：$v(t) = x'(t) = 4t - 4$。
令 $v(t) = 0$，解得 $t=1\text{s}$。说明质点在 $t=1\text{s}$ 时**掉头**。
* **第一段 ($0-1\text{s}$)**：$x(1) = 2 - 4 + 1 = -1\text{m}$。位移 $\Delta x_1 = -1 - 1 = -2\text{m}$。路程 $d_1 = |-2| = 2\text{m}$。
* **第二段 ($1-3\text{s}$)**：$x(3) = 7\text{m}$。位移 $\Delta x_2 = 7 - (-1) = 8\text{m}$。路程 $d_2 = |8| = 8\text{m}$。
* **总路程**：$d = d_1 + d_2 = 2 + 8 = 10\text{m}$。
**例题 2：二维位移的合成**
某人向东走 $40\text{m}$，再向北走 $30\text{m}$。求总位移和路程。
**解答**：
* **路程 (标量)**：$40 + 30 = 70\text{m}$。
* **位移 (矢量)**：构成直角三角形的斜边。
* 大小：$s = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\text{m}$。
* 方向：$\tan \theta = \frac{30}{40} = 0.75 \Rightarrow \theta \approx 37^\circ$ (东偏北)。