洛伦兹力
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教程正文
知识点：电磁学 > 磁场 > 洛伦兹力
1. 核心概念：洛伦兹力 (Lorentz Force)
**洛伦兹力**是磁场对**运动电荷**的作用力。它是安培力的微观本质。
**CSCA 备考重点**：
* **不做功特性**：洛伦兹力始终与速度方向垂直，只改变速度方向，**不改变速率**（动能不变）。
* **方向判断**：正负电荷的区别是最大的易错点。
---
2. 核心公式
(1) 大小计算
$$F = |q| v B \sin\theta$$
* $F$：洛伦兹力大小 (N)。
* $q$：电荷量 (C)，计算大小时取**绝对值**。
* $v$：电荷速度 (m/s)。
* $B$：磁感应强度 (T)。
* $\theta$：**速度 $\vec{v}$** 与 **磁场 $\vec{B}$** 的夹角。
**特殊情况**：
* $\vec{v} \perp \vec{B}$ ($\theta = 90^\circ$): $F = qvB$ (**最大值**，做匀速圆周运动)。
* $\vec{v} \parallel \vec{B}$ ($\theta = 0^\circ$): $F = 0$ (不受力，做匀速直线运动)。
(2) 方向判断：左手定则 (Left-Hand Rule)
**求力用左手**。注意正负电荷的区别！
* **第一步**：伸开**左手**，让磁感线 ($B$) **穿过手心**。
* **第二步**：四指的指向取决于电荷电性：
* **正电荷 (+)**：四指指向**运动方向** ($v$)。
* **负电荷 (-)**：四指指向**运动的反方向** ($-v$)。
* **第三步**：**大拇指**指向**洛伦兹力方向** ($F$)。
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3. 带电粒子在匀强磁场中的运动
这是考试中计算题的核心模型，通常假设粒子只受洛伦兹力（重力忽略不计）。
模型 A：匀速圆周运动 (Uniform Circular Motion)
当入射速度 $\vec{v} \perp \vec{B}$ 时，粒子做匀速圆周运动。
* **动力学方程**：洛伦兹力提供向心力。
$$qvB = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r = m v \frac{2\pi}{T}$$
* **两个核心推论（必背）**：
1. **轨道半径 (Radius)**：
$$r = \frac{mv}{qB}$$
* 推论：速度 $v$ 越大，半径 $r$ 越大。
2. **运动周期 (Period)**：
$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$$
* 推论：**周期与速度、半径无关**！只取决于荷质比 ($q/m$) 和磁场 ($B$)。
* *这也是回旋加速器 (Cyclotron) 的工作原理基础。*
模型 B：螺旋运动 (Helical Motion)
当入射速度 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 成任意角 $\theta$ 时。
* **分解速度**：
* $v_{\parallel} = v \cos\theta$：平行于磁场方向 $\rightarrow$ **匀速直线运动**。
* $v_{\perp} = v \sin\theta$：垂直于磁场方向 $\rightarrow$ **匀速圆周运动**。
* **轨迹**：等距螺旋线。
* **螺距 (Pitch)**：旋转一周在轴向前进的距离。
$$h = v_{\parallel} \cdot T = (v \cos\theta) \cdot \frac{2\pi m}{qB}$$
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4. 典型例题精讲
**例题 1：方向判断陷阱**
**题目**：一束电子流水平向右飞入垂直纸面向里的匀强磁场，电子受到的洛伦兹力方向如何？
**解**：
1. **磁场**：向里 $\rightarrow$ 穿过左手手心（手心朝外）。
2. **四指**：电子是**负电荷**！速度向右，所以**四指应指向左**。
3. **拇指**：指向**竖直向下**。
**答案**：竖直向下。
**例题 2：半径与周期的计算**
**题目**：质子 ($H^+$) 和 $\alpha$ 粒子 ($He^{2+}$，质量是质子的4倍，电量是质子的2倍) 以**相同的动能**垂直射入同一匀强磁场。求它们的轨道半径之比。
**解**：
1. **公式选择**：已知动能 $E_k$，需将半径公式 $r = \frac{mv}{qB}$ 变形。
由 $E_k = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$，代入得：
$$r = \frac{m \sqrt{2E_k/m}}{qB} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$$
2. **代入比例**：
$B, E_k$ 相同，故 $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$。
$$\frac{r_H}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{1}/1}{\sqrt{4}/2} = \frac{1}{1} = 1:1$$
**答案**：半径之比为 1:1。
**例题 3：运动时间问题**
**题目**：一个带电粒子在磁场中转过了 $60^\circ$ 的圆心角，求它在磁场中的运动时间 $t$。
**解**：
利用周期 $T$ 来计算。
$$t = \frac{\theta}{360^\circ} \times T = \frac{60}{360} T = \frac{1}{6} T$$
代入 $T = \frac{2\pi m}{qB}$ 即可求解。