衍射

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考纲对齐

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适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

教程正文

知识点：光学 > 物理光学 > 衍射

衍射 (Diffraction)

1. 概念定义 (Conceptual Definition)

衍射是光在传播路径中遇到**障碍物**或**小孔**时，绕过障碍物边缘进入几何阴影区的现象。它是光具有**波动性**的直接证据。

**核心考点：衍射发生条件**

* 当障碍物或孔的尺寸 $a$ 与光的波长 $\lambda$ **相当**或**更小**时 ($a \approx \lambda$)，衍射现象最显著。

* 当 $a \gg \lambda$ 时，衍射不明显，光近似沿直线传播（几何光学）。

2. 核心模型与公式 (Core Models)

#### A. 单缝夫琅禾费衍射 (Single Slit Fraunhofer Diffraction)

平行光垂直入射单缝，在屏上形成明暗相间的条纹。

* **图样特征**：

* **中央明纹 (Central Maximum)**：位于中心，最宽（约为其他明纹宽度的2倍）、最亮。

* **次级明纹**：分布在两侧，亮度迅速衰减。

* **暗纹条件 (Minima Condition) —— ⚠️ 重点记忆**

利用“半波带法”分析，当缝边缘两点光程差为波长整数倍时，产生暗纹：

$$ a \sin\theta = k\lambda \quad (k = \pm 1, \pm 2, \pm 3...) $$

* **注意**：此处 $k\lambda$ 对应的是**暗纹**，这与双缝干涉中 $k\lambda$ 对应明纹完全相反！

* **中央明纹宽度**：

$$ \Delta x \approx \frac{2f\lambda}{a} $$

($f$ 为透镜焦距，$a$ 为缝宽)。缝越窄 ($a$ 减小)，衍射条纹越宽。

#### B. 圆孔衍射与瑞利判据 (Circular Aperture & Rayleigh Criterion)

光通过圆孔形成“艾里斑” (Airy Disc)。

* **分辨率极限**：光学仪器（如望远镜、显微镜）的分辨本领受限于衍射。

* **瑞利判据 (Rayleigh Criterion)**：当一个点光源的衍射图样中心（中央主极大）刚好落在另一个点光源的第一级暗环上时，认为这两个点光源**恰好能被分辨**。

* **最小分辨角**：

$$ \theta_{min} = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$

($D$ 为孔径)。$\theta_{min}$ 越小，分辨本领越高。

#### C. 衍射光栅 (Diffraction Grating)

由大量等宽等间距的平行狭缝组成。

* **特点**：相比双缝干涉，光栅产生的亮纹**更细、更亮、间距更开**。

* **光栅方程 (明纹条件)**：

$$ d \sin\theta = k\lambda \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2...) $$

($d$ 为光栅常数，即相邻狭缝间距)。

3. 双缝干涉与单缝衍射的区别与联系

| 特征 | 双缝干涉 | 单缝衍射 |

| :--- | :--- | :--- |

| **成因** | 两束相干光叠加 | 同一波面上无数子波叠加 |

| **条纹宽度** | 均匀等宽 | 中央最宽，两侧变窄 |

| **亮度分布** | 比较均匀 | 中央最亮，迅速衰减 |

| **公式 ($k\lambda$)** | $d\sin\theta = k\lambda$ (**明纹**) | $a\sin\theta = k\lambda$ (**暗纹**) |

**进阶考点**：实际的双缝干涉图样，是**受单缝衍射包络调制**的干涉条纹。如果干涉明纹的位置恰好重合于衍射暗纹的位置，该级干涉条纹会消失，称为**缺级 (Missing Order)**。

4. 典型例题 (Typical Examples)

**例题 1：单缝衍射计算**

波长 $\lambda = 500 nm$ 的平行光垂直照射宽度 $a = 0.5 mm$ 的单缝，透镜焦距 $f = 1 m$。求中央明纹的宽度。

* **解**：

中央明纹宽度是指两侧第一级暗纹 ($k=\pm 1$) 之间的距离。

第一级暗纹角位置：$\sin\theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$。

屏上距离：$x_1 = f \cdot \tan\theta \approx f \cdot \frac{\lambda}{a}$。

中央明纹宽度 $\Delta x = 2x_1 = \frac{2f\lambda}{a}$。

$$ \Delta x = \frac{2 \times 1.0 \times 500 \times 10^{-9}}{0.5 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-3} m = 2 mm $$

**例题 2：分辨本领**

哈勃望远镜口径 $D=2.4m$，观测波长 $\lambda=550nm$ 的星体。求其最小分辨角。

* **解**：

$$ \theta_{min} = 1.22 \frac{\lambda}{D} = 1.22 \times \frac{5.5 \times 10^{-7}}{2.4} \approx 2.8 \times 10^{-7} rad $$

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