功与能，机械能守恒定律

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考纲对齐

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适用对象

计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。

教程正文

功与能，机械能守恒定律 (Work, Energy and Conservation Laws)

1. 核心体系概览

功和能是物理学中描述“相互作用”与“状态变化”的核心语言。由牛顿定律导出的**动能定理**和**机械能守恒定律**，为解决非匀变速运动（如曲线运动、变力做功）提供了比牛顿第二定律更简便的方法。

* **功 (Work)**：能量转化的量度（过程量）。

* **能 (Energy)**：物体做功的本领（状态量）。

2. 功 (Work)

#### A. 定义与公式

功是力在空间上的累积。

* **公式**：$$W = F s \cos\theta$$

* $F$：力的大小。

* $s$：**位移**的大小（相对于地面）。

* $\theta$：力与位移方向的夹角。

#### B. 正功与负功的判断

* **$0^\circ \le \theta < 90^\circ$**：做**正功**（动力），促进物体运动。

* **$\theta = 90^\circ$**：**不做功**（如洛伦兹力、匀速圆周运动的向心力）。

* **$90^\circ < \theta \le 180^\circ$**：做**负功**（阻力），也称“克服该力做功”，阻碍物体运动。

3. 动能定理 (Work-Energy Theorem)

这是解决**单个物体**受力与位移关系的首选工具，**不涉及时间**时优先考虑。

* **内容**：合外力做的功等于动能的变化量。

* **公式**：

$$W_{\text{net}} = W_1 + W_2 + ... = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$$

**CSCA 备考技巧**：

计算 $W_{\text{net}}$ 时，通常有两种方法：

1. 先求合外力 $F_{\text{net}}$，再求功（适用于恒力）。

2. 分别求各个力做的功，最后代数相加（适用于变力或多阶段运动）。

4. 机械能守恒定律 (Conservation of Mechanical Energy)

#### A. 势能 (Potential Energy)

* **重力势能**：$E_p = mgh$。注意 $h$ 是相对于**零势能面**的高度（通常选最低点）。

* **势能与做功的关系**：重力做正功，势能减小。$$W_G = -\Delta E_p = mgh_1 - mgh_2$$

#### B. 守恒定律

* **条件**：**只有重力或弹力做功**。

* *注意：可以受其他力（如支持力），但只要这些力不做功，机械能依然守恒。*

* **公式**：

1. **守恒式**（初末态相等）：$$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$$

2. **转化式**（增减量相等）：$$\Delta E_k = -\Delta E_p$$ （动能的增加量等于势能的减少量）

### 5. 解题策略：选动能定理还是机械能守恒？

| 场景 | 首选方法 | 理由 |

| :--- | :--- | :--- |

| 有摩擦力、空气阻力做功 | **动能定理** | 机械能不守恒，动能定理适用于一切过程 |

| 只有重力/弹力做功（光滑斜面、摆、抛体） | **机械能守恒** | 不用计算功，直接列状态方程，更简单 |

| 求变力做的功 | **动能定理** | 利用 $\Delta E_k$ 反求 $W$ |

6. 典型例题

**例题 1：动能定理（含摩擦力）**

**题目**：质量 $2\text{kg}$ 的物体在水平拉力 $F=10\text{N}$ 作用下移动 $5\text{m}$，摩擦力 $f=2\text{N}$。求末速度（初速度为0）。

**解**：

合外力做功：$W_{\text{net}} = W_F + W_f = Fs - fs = 10\times5 - 2\times5 = 40\text{J}$。

由动能定理：$40 = \frac{1}{2}mv^2 - 0 \Rightarrow 40 = v^2 \Rightarrow v = \sqrt{40} \approx 6.32\text{m/s}$。

**例题 2：机械能守恒（摆锤模型）**

**题目**：长 $L$ 的细绳悬挂一小球，将球拉至与竖直方向成 $60^\circ$ 角处静止释放。求摆到最低点时的速度。

**解**：

1. **判断**：只有重力做功，拉力与速度垂直不做功 $\to$ 机械能守恒。

2. **建系**：选最低点为零势能面。

3. **找高度**：释放点高度 $h = L - L\cos60^\circ = \frac{1}{2}L$。

4. **列式**：

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

$$g(\frac{1}{2}L) = \frac{1}{2}v^2 \Rightarrow v = \sqrt{gL}$$

功与能，机械能守恒定律

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