功与能，机械能守恒定律

区分单个力的功、合功与机械能变化，明确动能定理和机械能守恒的条件，并用摩擦物块与单摆例题练习列式。

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功与能，机械能守恒定律

功把力与能量的变化联系起来。题目如果要求物体运动一段距离后的速度，能量方法往往可以省去逐时刻分析运动的步骤。列式前，先明确研究对象或系统、初末状态，以及哪些力做功。

下文采用经典力学模型。计算动能时，将运动物体视为质量不变的质点，或只做平动、不发生转动的物体；整个过程使用同一个惯性参考系。

1. 力做的功

恒力 $\vec F$ 作用于物体，物体发生位移 $\vec s$ 时，

W=\vec F\cdot\vec s=Fs\cos\theta,

其中 $\theta$ 是力与位移的夹角。功是标量，单位为焦耳， $1\ \mathrm{J}=1\ \mathrm{N\,m}$ 。

恒力与水平位移成一定夹角的示意图。

当 $0^\circ\le\theta<90^\circ$ 时，这个力做正功。
当 $\theta=90^\circ$ 时，这个力在该位移上不做功。
当 $90^\circ<\theta\le180^\circ$ 时，这个力做负功。

力随位置变化，或运动路径为曲线时，应把各小段位移上的功相加。用积分表示为

W=\int\vec F\cdot d\vec r.

某一个力做正功，并不一定意味着物体最终加速；速度大小的变化由所有力做功的代数和决定。

如果一个力始终与瞬时速度垂直，它就不做功。例如，运动点电荷受到的磁场力与速度垂直；电场力则不一定如此，可以做功。支持力也不是在所有情形下都不做功，运动的支撑面就可能向物体传递能量。

2. 动能定理

质量为 $m$ 、速度大小为 $v$ 的物体，其平动动能为

K=\frac12mv^2.

动能定理说明，合外力做的功等于动能的变化量：

W_{\mathrm{net}}=\sum_i W_i=K_f-K_i =\frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2.

计算时要计入所有做功的力。合功为正，速度大小增大；合功为负，速度大小减小；合功为零，初末速度的大小相等，但方向未必相同。

功描述过程中传递的能量，动能描述某一状态。物体如果还发生转动或形变，就需要补充相应的能量项，不能把 $\frac12mv^2$ 当作全部能量。

例 1：有摩擦时求末速度

质量为 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块在水平面上从静止开始运动。沿运动方向施加 $10\ \mathrm{N}$ 的恒定水平拉力，摩擦力大小恒为 $2\ \mathrm{N}$ 、方向与运动相反。求物块运动 $5\ \mathrm{m}$ 后的速度大小。

在这个情境中，重力和支持力都与位移垂直，不做功。因此，

W_{\mathrm{net}}=10\times5-2\times5=40\ \mathrm{J}.

由动能定理，

40=\frac12\times2\times v^2, \qquad \boxed{v=\sqrt{40}\ \mathrm{m\,s^{-1}}\approx6.32\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.

如果只计算拉力的功，就会漏掉摩擦力造成的能量转移。

3. 势能及其参考位置

势能与系统内的相互作用有关。对物体与地球组成的系统，在近地面、可以把 $g$ 视为常量时，

U_g=mgh.

先选定 $h=0$ 的参考高度，再在整个计算中保持一致。零势能面的选择可以不同，但同一过程的势能变化量不会因此改变。

对服从胡克定律的理想弹簧，

U_s=\frac12kx^2,

其中 $x$ 是相对原长的伸长量或压缩量， $k$ 是劲度系数。这个公式适用于弹簧遵循胡克定律的范围。

这些保守力做的功与势能变化满足

W_{\mathrm{conservative}}=-\Delta U.

例如，物体下落时重力做正功，对应重力势能减小。

4. 什么时候能用机械能守恒？

把模型中的动能与势能相加，得到机械能：

E_{\mathrm{mech}}=K+U.

在这里采用的质点模型中，将已经用势能描述的保守力单独列出，可以写成

\Delta(K+U)=W_{\mathrm{other}}.

$W_{\mathrm{other}}$ 表示其余力做的功。如果这些力在所选过程中的合功为零，就有

K_i+U_i=K_f+U_f.

机械能守恒并不要求动能、势能分别不变。两者可以相互转化，但增加量与减少量应相等。有摩擦时，机械能常会减少，内能随之增加；能量并没有消失。

需要分析的问题	可以使用的关系	列式前检查
合功如何改变速度大小？	$W_{\mathrm{net}}=\Delta K$	是否计入了所有力做的功？
重力或弹簧如何使动能与势能相互转化？	$\Delta(K+U)=0$	其余力做的合功是否为零？
拉力或摩擦力是否改变机械能？	$\Delta(K+U)=W_{\mathrm{other}}$	是否把同一保守力的功与势能变化重复计入？

例 2：单摆摆到最低点的速度

单摆的摆球可视为质点，轻绳不可伸长，长度为 $L$ ，悬点固定。将绳拉到与竖直向下方向成 $60^\circ$ 的位置，由静止释放。忽略空气阻力，求摆球到达最低点时的速度大小。

以最低点为零势能位置，释放点的高度为

h=L-L\cos60^\circ=\frac L2.

绳的拉力始终与摆球的运动方向垂直，不做功，因此机械能守恒：

mg\frac L2=\frac12mv^2, \qquad \boxed{v=\sqrt{gL}}.

结果与摆球质量无关。这里使用的是准确的高度差，不需要使用求单摆周期时的小角度近似。

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内容审校日期：2026 年 9 月 9 日。

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1. 力做的功

2. 动能定理

例 1：有摩擦时求末速度

3. 势能及其参考位置

4. 什么时候能用机械能守恒？

例 2：单摆摆到最低点的速度

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