简谐运动与机械波
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考纲对齐
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适用对象
计划参加 CSCA 数学、物理、化学或专业中文考试的来华留学考生。
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教程正文
简谐运动与机械波 (SHM & Mechanical Waves)
1. 简谐运动 (Simple Harmonic Motion, SHM)
#### A. 定义与特征
最基础的周期性运动，其核心在于**回复力**。
* **动力学条件**：$F = -kx$ （力与位移成正比，方向相反）。
* **运动学条件**：$a = -\omega^2 x$。
#### B. 描述物理量
* **振幅 ($A$)**：离开平衡位置的最大距离。
* **周期 ($T$)**：完成一次全振动的时间。
* 弹簧振子：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
* 单摆（小角度）：$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
* **频率 ($f$)**：$f = 1/T$。
* **圆频率 ($\omega$)**：$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$。
#### C. 振动图像 ($x-t$ Graph)
描述**一个质点**随时间变化的规律。
* 横轴：时间 $t$。
* 纵轴：位移 $x$。
* 斜率：速度 $v$。
### 2. 机械波 (Mechanical Waves)
#### A. 核心公式
波速由**介质**决定，频率由**波源**决定。
$$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$$
#### B. 波动图像 ($y-x$ Graph)
描述**某一时刻**，介质中**所有质点**的位置。
* 横轴：位置 $x$。
* 纵轴：位移 $y$。
* **“同侧法” (Same-Side Rule)**：判断波的传播方向与质点振动方向的神技。在波形图上，波的传播方向与质点振动方向在波形的**同一侧**。
### 3. 振动图像 vs 波动图像 (The Difference)
这是考试最易混淆点！
| 特征 | 振动图像 ($x-t$) | 波动图像 ($y-x$) |
| :--- | :--- | :--- |
| **研究对象** | **一个质点** | **无数质点**（整个介质） |
| **横坐标** | 时间 ($t$) | 位置 ($x$) |
| **物理意义** | 一个人的“日记” | 所有人的“合影” |
| **直接读出** | 周期 $T$、振幅 $A$ | 波长 $\lambda$、振幅 $A$ |
### 4. 典型例题
**例题 1：同侧法应用**
**题目**：一列横波向右传播，某时刻波形如图所示。判断 $x=2\text{m}$ 处的质点 P 此刻的运动方向。
**解**：
1. 找到质点 P。
2. 因为波向右传，在 P 点所在波峰/波谷的右侧画箭头代表波速方向。
3. 根据“同侧法”，质点 P 的振动方向应与波速方向在波形线的同侧（例如都在上方或都在下方）。
4. 若 P 在上坡段（左低右高），波向右，则 P 向下振动。
**例题 2：波速计算**
**题目**：一列波在空气中 $\lambda_1 = 2\text{m}, v_1 = 340\text{m/s}$。传入水中后 $\lambda_2 = 8\text{m}$。求水中的波速。
**解**：
波源没变 $\to$ **频率 $f$ 不变**。
$f = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{340}{2} = 170\text{Hz}$。
$v_2 = \lambda_2 f = 8 \times 170 = 1360\text{m/s}$。
**例题 3：由图求波速**
**题目**：已知振动图像得 $T=0.2\text{s}$，波动图像得 $\lambda=4\text{m}$。求波速。
**解**：
直接公式：$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{4}{0.2} = 20\text{m/s}$。