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圆周运动与万有引力

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教程正文

圆周运动与万有引力 (Circular Motion & Gravitation)

1. 圆周运动运动学 (Kinematics)

描述圆周运动快慢的物理量：

* **线速度 ($v$)**：质点沿圆周运动的快慢。方向沿切线。

* 公式：$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2\pi r}{T}$

* **角速度 ($\omega$)**：半径转动的快慢。

* 公式：$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

* **关系**：$$v = \omega r$$

* **向心加速度 ($a_n$)**：只改变速度方向，不改变大小。

* 公式：$$a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2}r$$

* 方向：**始终指向圆心**。

### 2. 圆周运动动力学 (Dynamics)

#### 向心力 ($F_n$)

* **定义**：产生向心加速度的力。

* **来源**：**向心力是效果力**，不是一种新的力！它由重力、弹力、摩擦力等力的**合力**或**分力**提供。

* **公式**：

$$F_n = m a_n = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r$$

#### 典型模型：圆锥摆 (Conical Pendulum)

这是 CSCA 考试中处理受力分析的经典模型。

* **受力分析**：重力 $mg$，拉力 $T$。

* **合力**：水平指向圆心，提供向心力。

* **方程**：

* 竖直方向：$T \cos\theta = mg$

* 水平方向：$T \sin\theta = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r$

* 几何关系：$r = L \sin\theta$

3. 万有引力与航天 (Gravitation & Spaceflight)

#### A. 万有引力定律

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

* 适用条件：质点或均匀球体（$r$ 为球心距）。

#### B. 天体运动核心方程

**“万有引力提供向心力”**是解决卫星问题的唯一钥匙。

$$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r = m \frac{4\pi^2}{T^2}r$$

**重要结论（“高轨低速大周期”）**：

随着轨道半径 $r$ 增大：

* 线速度 $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ $\downarrow$ (减小)

* 角速度 $\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ $\downarrow$ (减小)

* 周期 $T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{GM}}$ $\uparrow$ (增大)

#### C. 黄金代换 (Golden Substitution)

在处理星球表面问题时，重力近似等于万有引力：

$$G \frac{Mm}{R^2} = mg \quad \Rightarrow \quad GM = gR^2$$

* $g$：星球表面重力加速度

* $R$：星球半径

* 此公式用于在已知 $g$ 和 $R$ 时消除 $M$。

#### D. 第一宇宙速度

卫星沿地球表面做匀速圆周运动的速度（发射卫星的最小速度，也是卫星运行的最大速度）。

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR} \approx 7.9 \, \text{km/s}$$

4. 典型例题

**例题 1：圆锥摆模型**

**题目**：绳长 $L$，悬挂质量 $m$ 的小球，在水平面内做匀速圆周运动，绳与竖直方向夹角 $\theta$。求小球的线速度 $v$。

**解**：

合外力提供向心力：$F_{net} = m g \tan\theta$。

由 $m g \tan\theta = m \frac{v^2}{r}$ 且 $r = L \sin\theta$。

解得：$v = \sqrt{g L \sin\theta \tan\theta}$。

**例题 2：卫星变轨分析**

**题目**：卫星从低轨道 (Low Orbit) 变轨到高轨道 (High Orbit)，其动能和周期如何变化？

**解**：

* 高度 $r$ 增加 $\to$ 速度 $v$ 减小 $\to$ **动能 $E_k$ 减小**。

* 高度 $r$ 增加 $\to$ 路径变长且速度变慢 $\to$ **周期 $T$ 增大**。

**例题 3：黄金代换**

**题目**：某行星半径是地球的 2 倍，质量是地球的 8 倍。求该行星的第一宇宙速度是地球的多少倍？

**解**：

第一宇宙速度 $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$。

$$\frac{v_{planet}}{v_{earth}} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \cdot \frac{R_e}{R_p}} = \sqrt{8 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$$

答案：2倍。