自由落体运动
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教程正文
知识点：自由落体运动 (Free Fall Motion)
#### 1. 核心定义与条件
自由落体是初速度为零的**匀加速直线运动 (Uniformly Accelerated Linear Motion)**，其加速度恒定为重力加速度 $g$。
* **理想条件**：
1. **初速度为零** ($v_0 = 0$)。
2. **仅受重力** (Only Gravity)：忽略空气阻力。若空气阻力不可忽略，则不属于自由落体。
* **重力加速度 ($g$)**：
* **方向**：竖直向下 (Vertically Downward)。
* **大小**：通常取 $g \approx 9.8 m/s^2$ 或简化为 $10 m/s^2$（考试时请注意题目要求）。
#### 2. 核心公式 (Basic Formulas)
自由落体是 $v_0=0, a=g$ 的特例，公式非常简洁。通常规定**竖直向下为正方向**。
| 物理量 | 公式 | 备注 |
| :--- | :--- | :--- |
| **速度** | $$v = gt$$ | 速度与时间成正比 |
| **位移 (下落高度)** | $$h = \frac{1}{2}gt^2$$ | 位移与时间的平方成正比 |
| **速度-位移关系** | $$v^2 = 2gh$$ | 不涉及时间 $t$ 时的首选公式 |
**重要推论（秒杀选择题技巧）**：
* **落地时间**：$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$（高度越高，时间越长）。
* **落地速度**：$v = \sqrt{2gh}$（与质量无关，只与高度有关）。
#### 3. 比例规律 (Proportional Patterns)
对于初速度为零的匀加速运动，以下比例关系常用于快速解题：
* **$1T$末, $2T$末, $3T$末... 的速度比**：
$$v_1 : v_2 : v_3 = 1 : 2 : 3$$
* **$1T$内, $2T$内, $3T$内... 的位移比**（注意是总位移）：
$$h_1 : h_2 : h_3 = 1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9$$
* **第1个$T$内, 第2个$T$内, 第3个$T$内... 的位移比**（注意是连续相等时间间隔）：
$$\Delta h_I : \Delta h_{II} : \Delta h_{III} = 1 : 3 : 5$$
#### 4. 典型例题：反应时间测定
**题目**：一把 $30cm$ 长的直尺。甲同学捏住直尺上端，乙同学的手指在下端 $0$ 刻度处准备（未触碰）。甲突然松手，乙看到后迅速夹住直尺。若夹住的位置是 $20cm$ 刻度处，求乙的反应时间。($g=10 m/s^2$)
**解**：
直尺做自由落体运动，下落高度 $h = 0.2 m$。
由公式 $h = \frac{1}{2}gt^2$ 得：
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.2}{10}} = \sqrt{0.04} = 0.2s$$
**易错点提示**：
* 题目中常说“最后1秒位移”，切记不能直接代入 $t=1$。通常需要设总时间 $t$，列方程求解。
* **伽利略实验**：轻重物体下落一样快（真空条件下）。如果题目中有空气阻力，重的物体通常下落更快（因为受阻力影响相对较小）。